(このとき、（*)は連続する３整数の積に１加えた形となっています。)
ｎが2000近くまで、Excel を用いて検証してみましたが、（*)が平方数となるようなｎは他に
見つかっていません。
しかし、この過程をどうにも上手く示せません。ぜひとも、お力添えをお願いします。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１２月４日付け）
答えにはなっていませんが、とりあえず、ｎ≦1000000000の範囲では、ｎ＝１、２、６だけで
した。
やっとわかりました。４ｎ3−４ｎ＋１ は奇数なので、４ｎ3−４ｎ＋１＝（２ｍ−１）2 とおいて
整理すると、
(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)＝(ｍ−１)ｍ
この式の値は、「A120436」によれば、０、６、２１０のみ。よって、元の問題の解は、
ｎ＝１、２、６のみ。
ＴＫＧさんからのコメントです。（平成２９年１２月４日付け）
らすかるさん、大変有意義なサイトのご紹介ありがとうございます。しかしながら、そのサイ
トでは、この問題をどのように解決しているのでしょう。プログラムでしょうか。ご教授お願い
致します。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１２月４日付け）
このサイトには、「Mordellが示した」と書いてありますね。このサイトのリンクに、
Louis J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press 1969, p. 257.
と書かれていますので、この本に証明が書かれているものと思います。
＃「booktopia.com」で買えば、PDFがDLできるみたいなので、興味があればどうぞ。
ＴＫＧさんからのコメントです。（平成２９年１２月４日付け）
URLまで添付してくださり本当にありがとうございます。URLで無料で論文を読むことができ
ましたが、恥ずかしながら、ほとんど理解できませんでした。そこで、失礼を承知の上ではあ
りますが、もしよろしければ、解説をしていただけたらと思います。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１２月４日付け）
私は英語が苦手なので辞退します。日本語であってもあまり読む気はないですが…。
ＴＫＧさんからのコメントです。（平成３０年５月３日付け）
私なりに、 ｍ2−ｎ3＝ｍ−ｎ (*) なる２以上の整数 ｍ、ｎ について考察してみました。
(*)より、 (ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)＝(ｍ−１)ｍ から、ｍ＞ｎ なので、ｍ2−ｎ3＞０
すなわち、 ｍ＞ｎ√ｎ ・・・ （１）
ここで、 ｍ−１≧ｎ√ｎ とすると、(*)より、
ｎ3−ｍ2＋ｍ−ｎ≦(ｍ−１)2−ｍ2＋ｍ−ｎ＝−(ｍ＋ｎ)＋１＜０
よって、等号が成立し得ないので、 ｍ−１＜ｎ√ｎ ・・・ （２）
（１）（２）より、 ｍ＝[ｎ√ｎ]＋１
これと(*)より、 [ｎ√ｎ]2＋[ｎ√ｎ]−ｎ3＋ｎ＝０
a_n＝[ｎ√ｎ]2＋[ｎ√ｎ]−ｎ3＋ｎ とする。また、以下、ｎ≧７ とする。
ｎ√ｎ＝[ｎ√ｎ]＋α (0≦α＜1)
(i) 0≦α≦1/2 のとき、
a_n＝(ｎ√ｎ−α)2＋(ｎ√ｎ−α)−ｎ3＋ｎ≧(ｎ√ｎ−1/2)2＋(ｎ√ｎ−1/2)−ｎ3＋ｎ
よって、 a_n≧ｎ−1/4＞0
(ii) 1/2＜α＜1 のとき、1/2＜ε＜α＜1なるεをとることができて、このとき、
a_n＝(ｎ√ｎ−α)2＋(ｎ√ｎ−α)−ｎ3＋ｎ＜(ｎ√ｎ−ε)2＋(ｎ√ｎ−ε)−ｎ3＋ｎ
よって、 a_n＜(１−2ε)ｎ√ｎ＋ｎ＋ε2-ε となり、(１−2ε)ｎ√ｎ＋ｎ＋ε2-ε は充分
大きいｎでは負となる。
a_1000＝−16494 であるから、n≦999を考えれば良い。すると、ｎ＝2、6 のみと分かる。
よって、n≧7では、a_n≠0 なので、a_n=0 となるのは、ｎ＝2、6 だけである。
ゆえに、題意を満たすｍ、ｎ は、 (ｍ，ｎ)＝(3，2)、(15，6) である。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年５月４日付け）
1/2＜ε＜α＜1なるεをとることができて
これは、ｎに依存してとることができるだけなので、あるεに対して「充分大きいｎ」を考える
のは正しくないと思います。
実際、1/2＜εであるどんなεをとっても、ある大きなｎで、1/2＜α＜ε＜1 となってしまい
ます。（n=4k2-4k+2 のとき、k→∞ で、α→1/2+0 です）
