∠ABC=70°、∠BCD=60°の角度にある位置関係で決まっている。
今、この４都市をネットワークで繋ぎ、どの都市からも他の都市への通信が可能な状態を
実現したい。
ネットワークの総延長が最小になるよう設計したいのであるが、どこまで縮めることが可能
か？
これについて、ある程度絞り込んだのですが、正解がわからず結論を出すことに戸惑って
います。何方か挑戦して頂いて、可能な最小値の数値を示してもらえると助かります。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１１月１４日付け）
あまり自信はありませんが、3+√{43+(24√3)sin10°}=10.08649555… ではないでしょうか。
スモークマンさんからのコメントです。（平成２９年１１月１４日付け）
BDとACとの交点に取ればいいような？
3√3+√((6-4sin70°)^2+(cos70°)^2))=7.463... ．．．勘違いしてるのかなぁ...^^;
式がおかしかったです Orz...
3√3+√((6-4cos70°)^2+(4sin70°)^2))=11.16...
あれ...らすかる様より大きくなっちゃうわ...。失礼しました...〜m(_ _)m〜
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年１１月１４日付け）
同じ数値で安心です。このネットワークが最小でいいんですね。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１１月１４日付け）
ちなみにその値は、正三角形BAEを四角形ABCDの外側に作った時のCD+DEの値として
求めました。
このとき、△BAEの外接円とDEの交点をPとして、AP、BP、DP、CD をつなぐのが最短か
と思います。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年１１月１４日付け）
d1= Sqrt[(y - 4 Cos[20 \[Degree]])^2 + (x - 4 Sin[20 \[Degree]])^2]
d2=Sqrt[x^2 + y^2]
d3=Sqrt[(-6 + X)^2 + Y^2]
d4=Sqrt[(-(9/2) + X)^2 + (-((3 Sqrt[3])/2) + Y)^2]
d5=Sqrt[(x - X)^2 + (y - Y)^2]
より、d1+d2+d3+d4+d5 の最小値は、
10.0864955508813306697065736064728534904242806407409103893984162906434・・・
最小値 10.0865 を、(x,y,X,Y)=(1.85401, 2.77249, 4.5, 2.59808) のときにとる。
moonlight さんからのコメントです。（平成２９年１１月１５日付け）
ついでにどう「作図」すればよいか、も知りたいかも。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１１月１５日付け）
私が上記に書いた通りで、正三角形BAEを四角形ABCDの外側に作って、△BAEの外接
円とDEの2交点のうちEでない方をPとし、AP、BP、DP、CDをつなげはよいと思います。
ＧＡＩ さんより、演習問題をいただきました。（平成２９年１１月１６日付け）
一か所数値を変更して、
４都市 A、B、C、D を頂点とする四角形ABCDの形状が、AB=4、BC=6、CD=3 の距離と
∠ABC=70°、∠BCD=65°の角度にある位置関係で決まっている。
今、この４都市をネットワークで繋ぎ、どの都市からも他の都市への通信が可能な状態を
実現したい。
ネットワークの総延長が最小になるよう設計したいのであるが、どこまで縮めることが可能
か？
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
その場合は、△ABDのフェルマー点をPとすると、∠PDC＜120°になりますので、正三角形
BAEと正三角形DCFを四角形ABCDの外側に作った時のEFの長さが答えになりますね。
具体的な値は、
√(61-6√6+6√2+48cos50°+36cos55°) = 10.3097478092…
になると思います。
moonlight さんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
なるへそ，フェルマー点が判別の決め手になるのですね。ちょっと図を描いて考えてみよう。
「120度で繋ぐと」っていう話は何度も見て納得はしてるけど、どう納得したのか思い出せない
ので、話にいまいち突っ込めない。他の辺でも良さげやし2つの辺で正三角形を作って，とし
てもよさそうなのに、一つだけなのはその辺りに根拠があるのですね。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
最小値は、
10.30974780928859815274649127649405924063001296469925524082837638347473778\
33758473348403582362451712138536205235704798448756476026782777937483028233\
41435547896220772506518193066496490749654240393
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
同じ数値で確認！（このやり方でいいんだ。）
ＧＡＩ さんより、演習問題をいただきました。（平成２９年１１月１６日付け）
一辺が1の正五角形の各頂点を結ぶ最小ネットワークの全長は？
（今計算し終わった所なので、誰か挑戦願う。）
DD++さんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
(1+2cos12°)*sin60°+sin48°+sin36° ≒ 3.891 ですかね？
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
もっと短くできませんか?
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
私の数値よりはるかに小さいです。どんな形状か教えて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
私も（最小かどうかはわかりませんが）DD++さんと同じ答えになりました。
正五角形ABCDEの内側に、∠HAB=18°、∠HBA=42°となるように点Hをとり、AEの垂直
二等分線に関してHと対称の位置に点Fをとり、∠EFG=∠FGH=∠GHA=120°となるように
AEの垂直二等分線上に点Gをとって、A-H、B-H、C-G、D-F、E-F、F-G、G-H を結べば、
DD++さんと同じ (tan84°-√3)/2 = {√(50+22√5)+√15+√3}/4 という値になりますね。
AB、BC、CD、DEを結べば長さ4で出来るのは明らかですから、上記の数値より「はるか
に」大きかったら明らかに最小値ではないですね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
計算を見直していたら、半径が1の円周上に5点をとって計算を始めていたので、一辺の長
さが1の図形で結果を見直したら（√(2-2*cos(72°))で割った。）3.891156823326･･･の値に
なりました。
一辺の長さを1で出題していたのを、いつの間にか計算上半径1で勘違いで進んでおりまし
た。ほっとしました。
ただネットで調べていると、石鹸水で正五角形をつけて引き上げてできる膜の付き方の形
状（左右対称で、多分、らすらるさん紹介の形）と最小シュタイナー木として描いてある非対
称で120°のなす角を元に決定している不思議な形状
正五角形の頂点を反時計周りに、A、B、C、D、Eとし、5角形内に点P、Q、Rを
∠BPA=∠APQ=∠PQE=∠EQR=∠QRC=∠CRD=120°を満たすようにとる。
が紹介されているのを見るのですが、２つとも最小の長さを与えるものなのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１１月１６日付け）
私の図→ 上記の説明の図
（A → C、B → D、C → E、D → A、E → B、F → P、G → Q、H → R）
のように対応していて、同じ図形なのでは？
（図が描かれているならば、図が不正確なだけではないでしょうか。）
DD++ さんより、演習問題をいただきました。（平成２９年１１月１８日付け）
比較的わかりやすいものから、非常に難しいもの、予想すら立たないものまで、挑戦どうぞ。
Ａ．一辺が1の正四面体の各頂点を結ぶ最小ネットワークの全長は？
(1) 三次元的に敷設できる場合
(2) 正四面体表面にのみ敷設できる場合
(3) 外接球面上にのみ敷設できる場合
Ｂ．一辺が1の正八面体の各頂点を結ぶ最小ネットワークの全長は？
(4) 三次元的に敷設できる場合
(5) 正八面体表面にのみ敷設できる場合
(6) 外接球面上にのみ敷設できる場合
Ｃ．一辺が1の立方体の各頂点を結ぶ最小ネットワークの全長は？
(7) 三次元的に敷設できる場合
(8) 立方体表面にのみ敷設できる場合
(9) 外接球面上にのみ敷設できる場合
Ｄ．一辺が1の正五胞体の各頂点を結ぶ最小ネットワークの全長は？
(10) 四次元的に敷設できる場合
りらひいさんからのコメントです。（平成２９年１１月２２日付け）
とりあえず、頭に浮かんだ短くなりそうなものはこんな感じ。証明とか一切できてなくて、ろ
くに考察もしていないので、完全にあてずっぽうの予想です。
(1) √3+√2/2 (2) √7 (4) 3(1+√3)/2 (5) √21 (7) 1+3√3 (8) (1+√2)(1+√3)
(10) √3+√(3/8)+√(5/8)
距離の算出を間違えているものがあるかも・・・。そして、もっと短くできるものもきっとある
でしょう・・・。最短の証明方法は全然わからない・・・。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年１１月２３日付け）
(5) はもっと短くできますね。向かい合う正三角形それぞれの中でネットワークを作り、その
間を普通に辺を使って結ぶだけでも 1+2√3 ≒ 4.464 となり、√21 ≒ 4.583 より短いです。
もちろんさらに短く済むネットワークもありますが。
(1)(2)(4)(7) については私も同じ値に至りました。同じく証明はできていませんが、手応え的
には大丈夫そう。
(8)(10) は、私は未着手です。りらひいさん速いですね。
りらひいさんからのコメントです。（平成２９年１１月２４日付け）
(8) ももっと短くできましたね。向かい合う正方形それぞれの中でネットワークを作り、その
間を普通に辺を使って結ぶだけでも 3+2√3 ≒ 6.464 となり、(1+√2)(1+√3) ≒ 6.596 より
短いです。さらに短く済むネットワークもあるかもしれません。
やっぱり全然考察が足りなかったですね。すぐに思いつきそうなものと比較すらしていない
なんて。前回の投稿は最初に思いついた形状で出した値を書き込んだだけなのです。
