うか。特に剰余項が0になることを示すやり方がよく分からないので、詳しく教えてください。
（tanθ=t、-π/2<θ<π/2となるとき、arctan(t)=θ）
DD++さんからのコメントです。（平成２９年１０月６日付け）
arctan(x) のマクローリン展開って、次のようにやっちゃうことがほとんどですよね。
1/(1+t2) = 1 - t2 + t4 - t6 + … を 0 から x まで積分して、
arctan(x) = x - (1/3)x3 + (1/5)x5 - (1/7)x7 + …
極限と積分の順序の問題など厳密性に欠けるので、ちゃんとやるなら以下でしょうか。
まず、arctan(x) は奇関数なので、明らかに偶数次項はありません。
（証明したければ奇数次項と同様の方法で示せます）
ということで、奇数次項だけ考えます。以下、f(x) = arctan(x) とします。
f'(x) = 1/(1+x2) より、f'(0) = 1
(1+x2)f'(x) = 1 の両辺を微分していくと、2xf'(x) + (1+x2)f''(x) = 0
2f'(x) + 4xf''(x) + (1+x2)f'''(x) = 0 ここから、f'''(0) = -2
6f''(x) + 6xf'''(x) + (1+x^2)f''''(x) = 0
12f'''(x) + 8xf''''(x) + (1+x^2)f'''''(x) = 0 ここから、f'''''(0) = 24
以下、帰納的に、 f^(2n+1)(0) = (-1)n・(2n)! が示されます。よって、定義に従って、
arctan(x) = x - (1/3)x3 + (1/5)x5 - (1/7)x7 + ……
2n+1 次まで展開したときの剰余項を r(x) とすると、
r(x) = arctan(x) - x + (1/3)x3 - … - ((-1)n/(2n+1))x2n+1
r'(x) = 1/(1+x2) - 1 + x2 - … - (-x2)n = 1/(1+x2) - (1-(-x2)n+1)/(1+x2) = (-x2)n+1/(1+x2)
1+x2 ≧ 1 なので、 -x2n+2 ≦ r'(x) ≦ x2n+2
これは、任意の実数で成り立つので、
-1/(2n+3)・x2n+3 ≦ r(x) ≦ 1/(2n+3)・x2n+3 (x≧0)
1/(2n+3)・x2n+3 ≦ r(x) ≦ -1/(2n+3)・x2n+3 (x≦0)
よって、-1≦x≦1 のとき、 r(x) → 0 (n → ∞)
