問題を作ってみました。作ってみただけなので、解けるのかどうかよく分かりませんが・・・。

問題　m、n はどちらも自然数で、(-1)^m は、x に関する３次方程式 x³-3x²+nx-1=0 の
　　　解の1つである、という条件を満たしています。m、nを求めて下さい。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年１０月７日付け）

　(m,n)=(2,15)、(3,57)、(8,48003)、(64,28193372858122395001539236001805824000)、･･･  ?


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１０月７日付け）

　 (64,28193372858122395001539236001805824000)　は、桁落ちしてますね。

　n=-t^(2m)+3t^m+(t^2+3t+3)^m（ただしt=2^(1/3)-1）に、m=64を代入すると、nの値は、

　　28193372858122395001539236001805824002.99999999999999999962…

となり、整数になりません。（というより既に一の位が桁落ちしてますが…）

　m≦1000　の範囲では、　(2,15)、(3,57)、(8,48003)　の３個だけだと思います。


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年１０月８日付け）

　a[0]=1、a[1]=-1、a[2]=1、a[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n]　という数列を順に計算すると、

　　1, -1, 1, 1, -7, 19, -35, 41, 1, -161, 521, -1079, 1513, -781, ……

　a[m]=1 となることが m = 0, 2, 3, 8 の次があるかどうかですが、さて．．．。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１０月８日付け）

　どうも1はその後出てこないっぽいです。状況証拠だけなので全く証明にはなっていません
が、4≦k≦14に対して、mod 2^(2k) でその漸化式を計算していくと、周期は2^(2k)となって
1周期中の1の個数は2^k+11個、そして、9番目以降で最初に1が出てくるのが2^k番目となり、
もしこれがk≧15についても同じようになると仮定すると1は出てこないことになります。
（mod 3^(2k),5^(2k),7^(2k)などでも似たような感じになります。）