ニュートンはロンドンでペストが大流行しているとき、大疫から逃れるため、故郷のグラン
サムに戻っていた時、世紀の大発見、万有引力の法則を確立させる大功績を成し遂げる
合間に、円周率を

　π=3*√3/4+24*∫₀ ^1/4 √(ｘ-ｘ²)dx

の計算を利用して小数第１６位まで求めた、との記事を見る。

　どんな計算なのか興味が湧いたので、コンピュータで計算の経緯を調べてみた。

I(x)=∫√(ｘ-ｘ²)dx=1/4*(2*x-1)√(ｘ-ｘ²)-1/8*arcsin(1-2*x)
    =2/3*x^(3/2)-1/5*x^(5/2)-1/28*x^(7/2)-1/72*x^(9/2)-5/704*x^(11/2)-7/1664*x^(13/2)-･･･

から、

π=3*√3/4+24*(I(1/4)-I(0))
  =3*√3/4+24*(1/12-1/(5*2^5)-1/(28*2^7)-1/(72*2^9)-5/(704*2^11)-7/(1664*2^13)-･･･
　=3*√3/4+2-24*(1/(5*2^5)+1/(28*2^7)+1/(72*2^9)+5/(704*2^11)+7/(1664*2^13)+･･･)
  =3*√3/4+2-3*2^5/2^2*(1/(5*2^5)+1/(28*2^7)+1/(72*2^9)+5/(704*2^11)+7/(1664*2^13)+･･･)
  =3*√3/4+2-3/4*(1/5+1/(28*2^2)+1/(72*2^4)+5/(704*2^6)+7/(1664*2^8)+･･･）
  =3*√3/4+2-3/4*(1/5+1/((7*2^2)*2^2)+1/((9*2^3)*2^4)+5/((11*2^6)*2^6)+7/((13*2^7)*2^8)+･･･)
  =3*√3/4+2-3/4*(1/5+1/(7*2^4)+1/(9*2^7)+5/(11*2^12)+7/(13*2^15)+･･･）
  =3*√3/4+2-3/4*Σ[k=0,∞]binomial(2*k,k)/(16^k*(k+1)*(2*k+5))
　（＊この部分の変形はとてもじゃないが思いつかない。ニュートンはこのΣ部分の２２項分を利用したという。）

k=0,21(22項分の和）で計算してみたら、

π=3*√3/4+2-3/4*
　　(1/5
　　+1/112
　　+1/1152
　　+5/45056
　　+7/425984
　　+7/2621440
　　+33/71303168
　　+429/5100273664
　　+715/45097156608
　　+2431/790273982464
　　+4199/6871947673600
　　+29393/237494511599616
　　+52003/2040693581152256
　　+185725/34902897112121344
　　+111435/99079191802150912
　　+1938969/8070450532247928832
　　+17678835/341264765363626704896
　　+21607465/1918461383665793368064
　　+119409675/48404256449413863440384
　　+883631595/1624494070107157953511424
　　+109402007/906694364710971881029632
　　+6116566755/227278054087550284844761088)
　= 3.1415926535897932 6448824048224

一方、　gp > Pi　= 3.1415926535897932 3846264338328　　と、確かに小数以下１６位まで
一致させられる。

即ち、上記の計算を計算機無しで、引力についての考察をしながら間違いなく、まるで遊び
のようにやり遂げる能力に驚愕です。