このとき、∠Aは何度か?
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年９月２９日付け）
答えは、１５０°
hirahiraさんからのコメントです。（平成２９年９月２９日付け）
回答ありがとうございます。確かに正解ですが、この問題がわかる方、解き方を教えて下
さい。よろしくお願いします。
hirahiraさんからのコメントです。（平成２９年９月３０日付け）
この前は回答をして頂きどうもありがとうございました！もう少し詳しくお聞きしたいのです
が、宜しいですか？なぜ∠Ａ＝150°?
この問題の解き方を教えて頂けますか？よろしくお願いします。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年９月３０日付け）
残念ながら解き方はわかりません。解き方がわかりませんので、A,B,C,Dをxy平面上に配
置して、座標で方程式を立て、数値的に求めました。
hirahiraさんからのコメントです。（平成２９年９月３０日付け）
方程式の解き方を教えてくださいm(__)m
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年９月３０日付け）
方程式は係数の複雑な四次方程式で、その方程式の解である座標から余弦定理で角度
を出しますので、手作業では難しいと思います。
hirahiraさんからのコメントです。（平成２９年９月３０日付け）
ご回答、ありがとうございました！
DD++さんからのコメントです。（平成２９年１０月１日付け）
完全に解けてはいないのですが、補助線をこのように引くのだろうなあという推察を。
辺 BC 上に AD=BE となる点 E をとります。EC = BC-BE = AD+DC-AD = DC であり、
∠DCE = 60° なので、△DEC は正三角形です。
したがって、 AB2+DC2＝4AD2 という条件は、AB2+DE2＝4AD2 と書き換えられます。
つまり、この問題は以下の問題に変わります。
四角形 ABED が、AD=BE、AB2+DE2＝4AD2、∠B=50°、∠E=120° を満たしているとき、
∠A の大きさは？
それで、さらに、対角線 AE を引き、点 A から辺 DE に垂線を、点 E から辺 AB に垂線
を下ろします。
こうすると、四角形 ABED は 4 つの直角三角形に分割されますね。
ここで、AD=BE、∠B=50°、∠E=120° の 3 条件に加えて、AD=AE という条件があれば、
4 つの直角三角形は全て合同になるので、
(AB/2)2+(DE/2)2 = AD2 すなわち AB2+DE2 = 4AD2
となることは明らかです。つまり、この問題はその逆をどうにか証明することで、
AB2+DE2＝4AD2 から AD=AE を導いてくるのではないかと思います。しかし、この最後の
部分が初等的に解こうとすると難しい……。
（コメント） AD＝DC＝２とすると、BC＝AD+DC＝４ で、∠B＝50°、∠C=60°から四角形
ABCD内の△BADは頂角∠ABD＝２０°の２等辺三角形となり、∠A＝８０°が求
まるのだが、この四角形を描こうとすると矛盾があるらしく描けない．．．。
BC＝４、AD＝２ｘ とおいて、余弦定理から cosA を求めても式中に ｘ が含まれ、A は確
定しないような．．．予感？
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１０月１日付け）
綺麗な解き方ではないですが、DD++さんにより、AD=AEのとき、AB2+DE2＝4AD2
A’をAとBの間にある点、D’を半直線ED上の点で、A’D’=AD とすると、
A’E＜AE 、A’B＜AB 、D’E＜DE
となるので、 A’B2+D’E2＜4AD2
A’を半直線BA上で、BA’＞BA となる点、D’を半直線ED上で、ED’＞ED。A’D’=ADとなる
点とすると、A’E＞AE、A’B＞AB、D’E＞DE となるので、 A’B2+D’E2＞4AD2
従って、A’B2+D’E2=4AD2 ならば、A’=A、D’=D なので、A’E=AE=AD のようにすれば良
いかと思ったのですが、A’を半直線BA上で、BA’＞BA となる点としたとき、D’は∠AD'Eが
鈍角となる点もとれますね。その場合、A’がAに近ければD'もEに近く、
A’B2+D’E2≒AB2＜4AD2
A’Bを長くしていくといずれ A’B2+D’E2=4AD2 となります。
この場合は（元の四角形が凹四角形になりそうですが）別の角度の答えが出ますね。
hirahiraさんからのコメントです。（平成２９年１０月２日付け）
ご回答いただきまして、ありがとうございます。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１０月３日付け）
一つ質問ですが、四角形ABCDは「凸四角形」に限定して良いでしょうか。
（元の問題で「凸四角形」と書かれているか、あるいは凸四角形に見える図がありますか？）
冒頭の問題を字面通りに受け取ると、凹四角形も含むことになりますので、150°の他に
42.1407296…°という半端な答えも出てきます。もし「凸四角形」という条件がないのであれ
ば、半端な答えもありますので、おそらく幾何学的には解けないと思います。
hirahiraさんからのコメントです。（平成２９年１０月３日付け）
ちょっと 「凸四角形」限定で質問させて頂きます。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１０月３日付け）
では、ほぼ上に書いてあることと同様ですが、まとめ直します。
四角形ABCDで、CDの延長上に、DF=ADとなるように点Fをとると、
CF=CD+DF=AD+DC=BC、∠BCF=60°なので、△BCFは正三角形です。
これを元に、逆に考えます。
まず、正三角形FBCを描き、∠FBG=10°、∠GBC=50°となるようにCF上に点Gをとり、
AをBG上の動点とします。
そして、AFの垂直二等分線とCFとの交点をDとします。
すると、四角形ABCDは、AD+DC=BC、∠B=50°、∠C=60°を満たします。
AがBFの垂直二等分線上にあるとき、Dを通りBFと平行な直線とBCの交点をH、DHとACの
交点をI、AFの中点をJ、ABの中点をKとすれば、
△DFJ≡△DAJ≡△DIA≡△HIA≡△HKA≡△HKBで、△DHCは正三角形なので、
AD2=AI2+DI2=(AB/2)2+(DC/2)2からAB2+DC2=4AD2 となり、問題の条件を満たします。
このとき、∠DAB=150°です。
動点AがこれよりB方向に進むと、ABもDCも短くなりADは長くなりますので、
AB2+DC2=4AD2 は成り立ちません。
また、動点AがG方向に進むと、ABもDCも長くなりADは短くなりますので、やはり
AB2+DC2=4AD2 は成り立ちません。
従って、条件を満たすのは、AがBFの垂直二等分線上にあるときのみなので、∠A=150°
となります。
条件を満たす凹四角形となるのは、動点AがBGの延長上にある場合で、この場合は数値
計算により∠DAB=42.1407296…°のときに条件を満たします。
hirahiraさんからのコメントです。（平成２９年１０月３日付け）
私の質問にご丁寧に回答して頂き 本当に言葉にならない程､心から感謝しています(^-^)
