高校で習う自然数 ｎ の階乗 ｎ！ は、順列・組合せの計算で活躍するが、数学のいろい
ろなところでも顔を出し、言わば、数学の世界のアイドルである。
１ から ｎ までの全ての自然数の積を表すものだが、その急激な増加に驚くという意味で、
感嘆符（！）【exclamation mark】 がつくと、高校時代教わったような気がする。
１！＝１
２！＝２
３！＝６
４！＝２４
５！＝１２０
６！＝７２０
７！＝５０４０
８！＝４０３２０
９！＝３６２８８０
１０！＝３６２８８００
１１！＝３９９１６８００
１２！＝４７９００１６００
１３！＝６２２７０２０８００
１４！＝８７１７８２９１２００
１５！＝１３０７６７４３６８０００
１６！＝２０９２２７８９８８８０００
１７！＝３５５６８７４２８０９６０００
１８！＝６４０２３７３７０５７２８０００
１９！＝１２１６４５１００４０８８３２０００
２０！＝２４３２９０２００８１７６６４００００
２１！＝５１０９０９４２１７１７０９４４００００
２２！＝１１２４０００７２７７７７６０７６８００００
２３！＝２５８５２０１６７３８８８４９７６６４００００
２４！＝６２０４４８４０１７３３２３９４３９３６００００
２５！＝１５５１１２１００４３３３０９８５９８４００００００
･･････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
いま、これらの数を素因数分解してみる。
１！＝１
２！＝２
３！＝２×３
４！＝２3×３
５！＝２3×３×５
６！＝２4×３2×５
７！＝２4×３2×５×７
８！＝２7×３2×５×７
９！＝２7×３4×５×７
１０！＝２8×３4×５2×７
１１！＝２8×３4×５2×７×１１
１２！＝２10×３5×５2×７×１１
１３！＝２10×３5×５2×７×１１×１３
１４！＝２11×３5×５2×７2×１１×１３
１５！＝２11×３6×５3×７2×１１×１３
１６！＝２15×３6×５3×７2×１１×１３
１７！＝２15×３6×５3×７2×１１×１３×１７
１８！＝２16×３8×５3×７2×１１×１３×１７
１９！＝２16×３8×５3×７2×１１×１３×１７×１９
２０！＝２18×３8×５4×７2×１１×１３×１７×１９
２１！＝２18×３9×５4×７3×１１×１３×１７×１９
２２！＝２19×３9×５4×７3×１１2×１３×１７×１９
２３！＝２19×３9×５4×７3×１１2×１３×１７×１９×２３
２４！＝２22×３10×５4×７3×１１2×１３×１７×１９×２３
２５！＝２22×３10×５6×７3×１１2×１３×１７×１９×２３
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上記の計算を、「ボーッ！」と眺めていると、いろいろなことに気づかされる。
任意の自然数 ｎ に対して、その階乗 ｎ！ は、
素因数 ２ を、２個、５個、６個、９個、１２個、１３個、１４個、１７個、・・・ 含むことはない。
素因数 ３ を、３個、７個、・・・ 含むことはない。
素因数 ５ を、５個、・・・ 含むことはない。
･････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・
一般に、素因数 ｐ に対して、その個数は必ず飛び飛びの数になるのであろうか？
もし、そうなら、その証明はどうするのだろうか？
これは、今後の研究課題としよう。
（追記） 平成１８年１２月２５日付けで、ＨＮ「暇人13世」さんから、
「任意の自然数 ｎ に対して、階乗 ｎ！ の素因数 ｐ の指数が飛び飛びになる事の証明」
ということでメールをいただいた。平成１６年２月１４日（今から約３年ほど前！）にアップロ
ードして寝かせたままになっていたもので、再び考える機会を頂いたＨＮ「暇人13世」さん
に心から感謝したい。
ＨＮ「暇人13世」さんよりいただいた証明は下記の通りである。（一部修正）
（証） Ｆ（ｎ，ｐ）＝｛階乗 ｎ！ の素因数 ｐ の指数｝ とおく。
任意の素数 ｐ に対して、ａ＝ｐ2 とおく。
このとき、 Ｆ（ａ−１，ｐ）＝ｃ とおくと、 Ｆ（ａ，ｐ）の値は、ａ＝ｐ2 なので、
Ｆ（ａ，ｐ）＝{ ａ！＝ａ×（ａ−１）！＝ｐ2×（ａ−１）！の素因数 ｐ の指数｝＝２＋ｃ
これは、指数が飛び飛びになる事を意味する。（証終）
（コメント） 素因数 ｐ のみに着目して、とても分かりやすい証明ですね！
空舟さんが、「ｎ！が素因数ｐをちょうどX個含む時」を考察されました。
（平成２４年３月４日付け）
Akp=(ｐk-1)/(p-1) [おなじみの式] とする。(Akbではなく。)
漸化式 A[k+1，ｐ]=ｐ・A[k，ｐ]+1 、A[1，ｐ]=1 で定めても良い。
例 p=2の場合 1，3，7，15，31，63，127，・・・
p=3の場合 1，4，13，40，121，364，・・・
ある階乗 ｎ！が素因数ｐをちょうどX個含む ⇔ X=Σck・Akp (ck=0、1、・・・、p-1)
具体的にこのとき n=Σck・ｐk が適する。
＜具体的な判定方法と構成方法＞
Xを、Akpに対する剰余を次々と取ればよい。ck列をｐ進数のようにして復元すればよい。
適解がない場合は途中でｐ・Akp の形になる。
例 ｐ=3、X=695 で調べる:
695/364=1 余り 331 、331/121=2 余り 89 、89/40=2 余り 9
9/13=0 余り 9 、9/4=2 余り 1
よって、ck[1，2，3，4，5，6]=[1，2，0，2，2，1] とすれば良い。
「convert 1220210 in base 3 to base 10」によって、
ｎ＝1・36+2・35+2・34+0・33+2・32+1・31+0＝1398 が適するだろう。
例 p=5、X=15（→関連投稿のもの）
15/6=2 余り 3 より、 ｎ=2・25+3・5=65 が適。
