伸び縮みする素材に図形を描いて、一定方向に伸ばすと図形の形が変わる、そんな体験
からの問題です。（投稿８８８回記念）
問題 ｘｙ平面上に、各辺が座標軸に平行でない直角二等辺三角形がある。この直角二等
辺三角形をｘ軸方向にａ倍に拡大すると、また、直角二等辺三角形になるという。定数
ａの値を求めよ。
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横方向に引き伸ばすと、 | |
解法はいくつか考えられる。
（解１） 座標平面で、Ａ（１，ｍ）、Ｂ（ｍ，−１）、Ｏ（０，０）とし、∠ＡＯＢ＝９０°なる直角二等
辺三角形ＡＯＢを考える。ただし、ｍ＞０ とする。
この図形をｘ軸方向にａ倍に拡大して、Ａ’Ｏ＝Ａ’Ｂ’、∠ＯＡ’Ｂ’＝９０°なる直角二等辺三
角形Ａ’ＯＢ’になるものとする。
Ａ’（ａ，ｍ）、Ｂ’（ａｍ，−１）なので、 ベクトルＯＡ’＝（ａ，ｍ）、ＯＢ’＝（ａｍ，−１） より、
Ａ’Ｂ’＝（ａ（ｍ−１），−ｍ−１）
条件より、 Ａ’Ｏ＝Ａ’Ｂ 、Ａ’Ｏ⊥Ａ’Ｂ’ なので、
ａ2＋ｍ2＝ａ2（ｍ−１）2＋（ｍ＋１）2 すなわち、 ａ2（ｍ2−２ｍ）＋２ｍ＋１＝０
また、 ａ2（ｍ−１）−ｍ2−ｍ＝０
これより、ａ2を消去すると、 （ｍ2−２ｍ）（ｍ2＋ｍ）＋（２ｍ＋１）（ｍ−１）＝０
すなわち、 ｍ4−ｍ3−ｍ−１＝０ から、 （ｍ2＋１）（ｍ2−ｍ−１）＝０
ｍは実数で、ｍ＞０ なので、 ｍ＝（１＋
）/２ となる。
このとき、 ａ2＝（ｍ2＋ｍ）/（ｍ−１）＝（２ｍ＋１）/（ｍ−１）＝（７＋３）/２ より、
ａ＝√｛（１４＋２√４５/４｝＝（３＋）/２ （終）
（解２） 直角２等辺三角形の直角を挟む２辺を斜辺とする２つの直角三角形が合同になる
という性質がある。
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横方向に引き伸ばすと、 |  |
横方向にａ倍（ただし、ａ＞１）に拡大したので、 ａ＝ｋ＋１ 、ａｋ＝２ｋ＋１ が成り立つ。
ｋを消去して、 ａ（ａ−１）＝２（ａ−１）＋１ すなわち、 ａ2−３ａ＋１＝０
よって、 ａ＝（３＋）/２ （終）
（コメント） 図形の性質に着目した（解２）が一番初等的かな？
（解３） 元の図形と横に引き伸ばした図形から、次のような立体図形を考えることが出来る。
ちょうど、元の図形を底面とする三角柱を平面で切断したような図形である。
横方向にａ倍（ただし、ａ＞１）に拡大すると、面積比はｋ2倍になるので、 ａ＝ｋ2 である。
このとき、 √（ｋ2−２）＋√（ｋ2−１）＝√（２ｋ2−１）
すなわち、 √（ａ−２）＋√（ａ−１）＝√（２ａ−１）
両辺を平方して、２ａ−３＋２√（ａ−２）√（ａ−１）＝２ａ−１ から、√｛（ａ−２）（ａ−１）｝＝１
よって、 ａ2−３ａ＋１＝０ より、 ａ＝（３＋）/２ （終）
（コメント） 立体図形をイメージするというのは新鮮な発想ですね！
