（１） 任意に２つの整数ｍ、ｎを選んだとき、これが互いに素である確率Ｐを求めよ。
（２） 互いに素な２つの整数ｍ、ｎのあらゆる組合わせでの Ｑ＝Σ1/(m2n2) の値を求めよ。
（コメント） （１）は、（１−１/２2）（１−１/３2）（１−１/５2）（１−１/７2）・・・＝６/π2
スモークマンさんからのコメントです。（平成２９年８月２０日付け）
（文言を一部修正させていただきました。あしからずご了承ください。）
自然数が素数ｐで割り切れる確率は、１/ｐ なので、２つの自然数のうち少なくとも一方が
素数ｐで割り切れない確率は、１−ｐ2 。よって、２つの自然数が互いに素である確率は、
P＝（１−１/２2）（１−１/３2）（１−１/５2）・・・（１−１/ｐ2）・・・
ここで、
ζ(2)=1+1/2^2+1+3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+…=(1/(1-1/2^2))(1/(1-1/3^2))(1/(1-1/5^2))…
=π^2/6
なので、 P=1/ζ(2)=6/π^2 =0.6079...
Q=(1/(1-1/2^2)^2)*(1/(1-1/3^2)^2)*(1/(1-1/5^2)^2)*…=(ζ(2))^2=(π^2/6)^2
=π^4/36 =2.7058…
かな…?
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年８月２４日付け）
Ｐについては、これでいいと思います。一方、Ｑは互いに素な(m,n)に対し、
1/(m^2*n^2)=1/(n^2*m^2)から、
Q=(1+2/2^2+2/2^4+2/2^6+･･･)*(1+2/3^2+2/3^4;2/3^6+･･･)*(1+2/5^2+2/5^4;2/5^6+･･･)
*(1+2/7^2+2/7^4;2/7^6+･･･)*(1+2/11^2+2/11^4;2/11^6+･･･)*･･･････････
=Π[p:prime](1+2/p^2+2/p^4+2/p^6+･･･)
=Π(1+2/(p^2-1))
=Π(p^2+1)/(p^2-1)
=Π(p^4-1)/(p^2-1)^2
=Π(1/(1-1/p^2)^2/(1/(1-1/p^4))
=ζ(2)^2/ζ(4)
=(π^2/6)^2/(π^4/90)
=90/36=5/2
かな…?
スモークマンさんからのコメントです。（平成２９年８月２４日付け）
1/(m^2*n^2)=1/(n^2*m^2) ・・・ そっか ^^; but…
Q=(1+1/2^2+1/2^4+…)(1+1/3^2+1/3^4+…)(1+1/5^2+1^5^4+…)…の2倍-1 ではないでしょ
うか…?
so… Q=2*(π^2/6)-1=3.2898…-1=2.2898…
but... 疑問が生まれて来ました…^^;
1/(1*1) ってのは...互いに素な(m,n)に含まれるのや否や…? また…たとえば…、
1/(5^2*6^2)=1/(6^2*5^2) ですが…、=1/(2^2*15^2)=1/(3^2*10^2) のそれぞれ倍もカウント
されることになると思われますが...
(1+1/2^2+1/2^4+…)(1+1/3^2+1/3^4+…)(1+1/5^2+1^5^4+…)…
では、素因数分解の一意性から、1/(2^2*3^2*5^2) は1回しかカウントされないことになり、
たとえ、それを2倍してもカウントし損ねてることになりそうな…?
よく分からなくなって来ました…Orz
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年８月２５日付け）
but... 疑問が生まれて来ました…^^;
1/(1*1) ってのは...互いに素な(m,n)に含まれるのや否や…?
互いに素で入ると思います。
また、(1+2/2^2+2/2^4+･･･)(1+2/3^2+2/3^4+･･･)(1+2/5^2+2/5^4+･･･)(1+2/7^2+･･･)(･･･
を展開したとき、2^2*3^2*5^2 を分母とする分子は、2^3=8 となり、
1/(1^2*30^2)+1/(2^2*15^2)+1/(3^2*10^2)+1/(5^2*6^2)+
1/(30^2*1^2)+1/(15^2*2^2)+1/(10^2*3^2)+1/(6^2*5^2)=8/(2^2*3^2*5^2)
で整合性は取れると思うんですが・・・
スモークマンさんからのコメントです。（平成２９年８月２５日付け）
解説ありがとうございました☆。よく分かりました♪。式変形も上手いですね!!。πが消える
のが何とも不思議です…☆。ありがとうございました〜m(_ _)m〜。
moonlight さんからのコメントです。（平成２９年８月２０日付け）
面白そうなので、ruby で確かめてみました。（→ ruby コード）
結果は、例えば
[(60433/100000), 0.60433]
...（中略）...
[(60749/100000), 0.60749]
[(1519597/2500000), 0.6078388]
といった感じで、「実験による検証」がそこそこできているのでは？と思ったのですが、プロ
グラムを見れば判るように、
m=100000000
....
a=rand(m)
b=rand(m)
ですから、100000000迄（rubyの仕様だと以下なのか未満なのかそれすら覚えてませんが）
の自然数で試しているわけで、これで「任意」と言えるのか？が気になります。（もちろん言
えないわけですが）どうすれば（どうしようもない？）いいでしょうね。つまり、より良い検証実
験としてはっていう話なのですが。
スモークマンさんからのコメントです。（平成２９年８月２１日付け）
疑問です...。P=(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/5^2)…(1-1/p^2)…=0.6079271018540267... なら...
有限の値までの求値は、これより大きくなければいけないと思うのですが？違うかなぁ…^^;
P(10)のときなら、
1を選んだとき…1〜10=10個
2…1,3,5,7,9=5個
3…1,2,4,5,7,8,10=7個
4…1,3,5,7,9=5個
5…1,2,3,4,6,7,8,9=8個
6…1,5,7=3個
7…1,2,3,4,5,6,8,9,10=9個
8…1,3,5,7,9=5個
9…1,2,4,5,7,8,10=7個
10…1,3,7,9=4個
P(10)=(10+5+7+5+8+3+9+5+7+4)/10^2=0.63
moonlight さんからのコメントです。（平成２９年８月２２日付け）
あれ？2は？
プログラムでは任意の2つの整数という事で、「同じ数」も含めています。うーん。異なる数
にすると話はどう変わるのだろう。
スモークマンさんからのコメントです。（平成２９年８月２２日付け）
分母は10^2 ですが、分子は互いに素になるものを数えてます…。プログラムは全然わか
らないもので…Orz...。
