各事象が起こる確率は、独立にそれぞれ a、b、c、d (a≠0、b≠0、c≠0、d≠0、a+b+c+d=1)
であるとする。
このとき、各事象が少なくとも１回は起こるまでに繰り返す試行回数の期待値を、
(a,b,c,d)=(1/4,1/4,1/4,1/4) 、(1/2,1/4,1/6,1/12) 、(1/2,1/3,1/10,1/15)
の各場合で求めてほしい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年８月１４日付け）
合っているかどうかわかりませんが、求める期待値は、
f(a,b,c,d)=1
+a{1+b/c+b/d+c/b+c/d+d/b+d/c-b/(c+d)-c/(b+d)-d/(b+c)}/(1-a)
+b{1+a/c+a/d+c/a+c/d+d/a+d/c-a/(c+d)-c/(a+d)-d/(a+c)}/(1-b)
+c{1+a/b+a/d+b/a+b/d+d/a+d/b-a/(b+d)-b/(a+d)-d/(a+b)}/(1-c)
+d{1+a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b-a/(b+c)-b/(a+c)-c/(a+b)}/(1-d)
なので、
f(1/4,1/4,1/4,1/4)=25/3=8.333333…
f(1/2,1/4,1/6,1/12)=11301/770=14.676623…
f(1/2,1/3,1/10,1/15)=2679269/139230=19.243474…
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年８月１４日付け）
これで計算できるんですね。自分は、
f(a,b,c,d)=1/(a*(1-a))+1/(b*(1-b))+1/(c*(1-c))+1/(d*(1-d))
-(1/((a+b)*(1-(a+b)))+1/((a+c)*(1-(a+c)))+1/((a+d)*(1-(a+d))))
-1
の式で求めていました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年８月１４日付け）
２式は同じ式のようですね。pari/gpで、f(a,b,c,d)=(私の式)、g(a,b,c,d)=(GAIさんの式) として
f(a,b,c,1-a-b-c)-g(a,b,c,1-a-b-c) を計算すると0になります。
相当大変そうなので手作業で変形する気にはなれませんが、GAIさんが書かれた式を部
分分数分解すると、
f(a,b,c,d)
=1/a+1/b+1/c+1/d
-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(a+d)-1/(b+c)-1/(b+d)-1/(c+d)
+1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+c+d)+1/(b+c+d)
-1/(a+b+c+d) （=1）
という綺麗な形になりますね。ということは、一般に、事象がA[1]〜A[n]のn個で、それぞれが
起こる確率が、a[1]〜a[n] （a[k]＞0、Σa[k]=1）のときに、全事象が少なくとも1回は起こるま
でに繰り返す試行回数の期待値は、
Σ[i]1/a[i]-Σ[i＜j]1/(a[i]+a[j])+Σ[i＜j＜k]1/(a[i]+a[j]+a[k])
-Σ[i＜j＜k＜l]1/(a[i]+a[j]+a[k]+a[l])+…±1 （nが奇数のときプラス、偶数のときマイナス）
のように表されそうですね。
