J=∫[0,π/2](2*cos(x) - 1)/(4*sin(x) - 2*cosx + 5)dx
の値や如何に？
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年８月７日付け）
2I-J=∫[0,π/2](4sinx-2cosx+5)/(4sinx-2cosx+5)dx=∫[0,π/2]=π/2
I+2J=∫[0,π/2](4cosx+2sinx)/(4sinx-2cosx+5)dx=[log(4sinx-2cosx+5)]0π/2=log3
なので、 I={2(2I-J)+(I+2J)}/5=(π+log3)/5 、J={2(I+2J)-(2I-J)}/5=(4log3-π)/10
＃ 一般形を求めました。
I=∫(asinx+bcosx+c)/(gsinx+hcosx+i)dx が
ah-bg≠0 、ag+bh≠0 、(g^2+h^2)c=(ag+bh)i
を満たすとき、ae-bd≠0 であるように適当に d、e を定めて、
J=∫{dsinx+ecosx+(eh+dg)c/(ag+bh)}/(gsinx+hcosx+i)dx
とおけば、
{(eg-dh)/(ae-bd)}I+{(ah-bg)/(ae-bd)}J=∫dx=x+C1
{(eh+dg)/(ae-bd)}I-{(ag+bh)/(ae-bd)}J=∫{hsinx-gcosx}/{gsinx+hcosx+(g^2+h^2)c/(ag+bh)}dx
=log|gsinx+hcosx+(g^2+h^2)c/(ag+bh)|+C2
なので、 I={(ag+bh)x+(ah-bg){log|gsinx+hcosx+(g^2+h^2)c/(ag+bh)|}}/(g^2+h^2)+C と求まる。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年８月８日付け）
自分も限定的一般化してみました。k を 0 以外の実数として、
I=∫[0,π/2](k*sin(x)+k) /(sin(x)-k*cos(x)+(k^2+1))dx
J=∫[0,π/2](k*cos(x)-k^2)/(sin(x)-k*cos(x)+(k^2+1))dx
を組合わすことで、
I=k/(k^2+1)*( π/2+k*log((k^2+2)/(k^2-k+1)))
J=k/(k^2+1)*(-k*π/2+log((k^2+2)/(k^2-k+1))) ･･･････(1)
また、積分範囲を変更して、
I=∫[0,π](k*sin(x)+k) /(sin(x)-k*cos(x)+(k^2+1))dx
J=∫[0,π](k*cos(x)-k^2)/(sin(x)-k*cos(x)+(k^2+1))dx
なら、
I=k/(k^2+1)*( π+k*log((k^2+k+1)/(k^2-k+1)))
J=k/(k^2+1)*(-k*π+log((k^2+k+1)/(k^2-k+1))) ･･･････(2)
そこで、(1)での log の真数部分が自然数になれる k を探すと、
(k^2+2)/(k^2-k+1)=1 -> k=-1
(k^2+2)/(k^2-k+1)=2 -> k=2
(k^2+2)/(k^2-k+1)=3 -> k=1,1/2
以下、4以上では、k は実数が存在できない。
（k=1/2を利用して問題を作成したのが出題していた積分）
また、有理数で k が √ を含まないものになるものを探すと、
(k^2+2)/(k^2-k+1)=9/7 -> k=1/2,5
(k^2+2)/(k^2-k+1)=11/7 -> k=-1/4,3 ･･･････(3)
(k^2+2)/(k^2-k+1)=17/7 -> k=1/5,3/2
(k^2+2)/(k^2-k+1)=18/13 -> k=-2/5,4
(k^2+2)/(k^2-k+1)=43/19 -> k=1/8,5/3
(k^2+2)/(k^2-k+1)=51/31 -> k=-1/5,11/4
･････････････
など、多数が見つかる。
例えば、(3)で、k=3 の値を使用すれば、
I=∫[0,π/2](3*sin(x)+3)/(sin(x)-3*cos(x)+10))dx
J=∫[0,π/2](3*cos(x)-9)/(sin(x)-3*cos(x)+10))dx
の問題に対しては、
I=3/10*(π/2 + 3*log(11/7)) 、J=3/10*(-3*π/2 + log(11/7))
が対応することになる。
