べき乗を「^」で表すとき、次の４つの関数を、ｘ＞０なる実数に対し定義する。

　　f₁(ｘ)＝((ｘ^ｘ)^ｘ)^ｘ＝ｘ^ｘ3　、f₂(ｘ)＝(ｘ^(ｘ^ｘ))^ｘ＝ｘ^ｘ(ｘ+1)

　　f₃(ｘ)＝ｘ^((ｘ^ｘ)^ｘ)＝ｘ^ｘｘ2　、f₄(ｘ)＝ｘ^(ｘ^(ｘ^ｘ))＝ｘ^ｘｘｘ

　さて、このとき、ｘ が 0 → +∞ と変化していくとき、この４つの関数の大小関係はどのよう
に変化するでしょうか？


（コメント）　Excel さんのお助けを借りて計算してみた。

　やま勘で、多分　f4(x)　が一番大きく、f₁(ｘ)が一番小さいのかな？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年８月９日付け）

　底を共通に x^x でみると、f₁〜f₄の大小は、次のg₁〜g₄の大小に同じ

　g₁(x)=3　、g₂(x)=x+1　、g₃(x)=x²　、g₄(x)=x^x

　各交点を調べて、

　x²=x+1  から　x=(1+)/2　、x²=3    から  x=

　x^x=x+1　から  x=1.776775･･･　、x^x=3    から  x=1.825455･･･

これより、

0<x<1                   →  f3<f4<f2<f1
x=1                     →  f3=f4=f2=f1　（f3とf4の交点にf2とf1が接する(らすかるさん)）
1<x<(1+√5)/2           →  f4<f3<f2<f1
x=(1+√5)/2             →  f4<f3=f2<f1
(1+√5)/2<x<√3         →  f4<f2<f3<f1
x=√3                   →  f4<f2<f3=f1
√3<x<1.77677･･･        →  f4<f2<f1<f3
x=1.77677･･･            →  f4=f2<f1<f3
1.77677･･･<x<1.82545･･･ →  f2<f4<f1<f3
x=1.82545･･･            →  f2<f4=f1<f3
1.82545･･･<x<2          →  f2<f1<f4<f3
x=2                     →　f2=f1<f4=f3
2<x                     →  f1<f2<f3<f4

と目まぐるしく入れ替わる。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年８月９日付け）

　W関数を使うと、x^x=3 の解は、x=log3/W(log3)(=1.825455022924830040041469297740…)
と表せます。x^x=x+1 の解も具体的に表せれば綺麗なのですが、残念ながらこの解を表す
方法はわかりません。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年８月９日付け）

　x^x=x+1の解は、ｘ=1.776775055364756098734799348225468089708662217140583777・・・
（詳しくは、こちら）