ある3辺が整数の長さをもつ直角三角形がある。直角を辺に持つ部分を軸に1回転させ
る回転体(円錐)での表面積と体積が等しくなるという。
その各辺の長さは?
らすかるさんからのコメントです。(平成29年8月5日付け)
3辺を √a、√b、√(a+b) として √b の辺が回転軸とすると、
表面積は、π(a+√(a(a+b))) 、体積は、πa√b/3
題意より、 π(a+√(a(a+b)))=πa√b/3 すなわち、 3(a+√(a(a+b)))=a√b
これを、a、b が平方数という条件で解く。
a=m2、b=n2 (m、n は自然数) とおくと、3(m2+m√(m2+n2))=m2n より、3(m+√(m2+n2))=mn
3√(m2+n2))=mn-3m の両辺を平方して、 9(m2+n2)=m2n2-6m2n+9m2
よって、9n2=m2n2-6m2n から、9n=m2n-6m2 すなわち、n=6m2/(m2-9)=6+54/(m2-9)
このとき、m2-9>0 で、n≧7 なので、54/(m2-9)≧1 より、m2-9≦54 すなわち、m2≦63
よって、 9<m2≦63 を満たす自然数mは、 m=4、5、6、7
このうち、n=6m2/(m2-9) が自然数となるものは、m=6 のときのみで、このとき、n=8
したがって、求める三角形の3辺の長さは、6、8、10 で、8 の長さの辺が回転軸となる。