ある３辺が整数の長さをもつ直角三角形がある。直角を辺に持つ部分を軸に１回転させ
る回転体（円錐）での表面積と体積が等しくなるという。

　その各辺の長さは？


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年８月５日付け）

　３辺を √a、√b、√(a+b) として √b の辺が回転軸とすると、

　　表面積は、π(a+√(a(a+b)))　、体積は、πa√b/3

題意より、　π(a+√(a(a+b)))=πa√b/3　すなわち、　3(a+√(a(a+b)))=a√b

　これを、a、b が平方数という条件で解く。

a=m²、b=n² (m、n は自然数)　とおくと、3(m²+m√(m²+n²))=m²n　より、3(m+√(m²+n²))=mn

　3√(m²+n²))=mn-3m　の両辺を平方して、　9(m²+n²)=m²n²-6m²n+9m²

よって、9n²=m²n²-6m²n　から、9n=m²n-6m²　すなわち、n=6m²/(m²-9)=6+54/(m²-9)

このとき、m²-9＞0　で、ｎ≧7　なので、54/(m²-9)≧1　より、m²-9≦54　すなわち、m²≦63

　よって、　9＜m²≦63　を満たす自然数mは、　m=4、5、6、7

　このうち、n=6m²/(m²-9)　が自然数となるものは、m=6　のときのみで、このとき、n=8

　したがって、求める三角形の３辺の長さは、6、8、10　で、8 の長さの辺が回転軸となる。