次の和を求めよ。

　Σ_k=1〜n {Σ_j=1〜k j }


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年７月２８日付け）

　1〜n から３数 i、j、k （i≦j≦k） を選ぶ方法は、_nH₃通りで、これは、

　Σ_k=1〜nΣ_j=1〜kΣ_i=1〜j 1=Σ_k=1〜nΣ_j=1〜k j

と等しいので、_nH₃＝n(n+1)(n+2)/6（通り）。


（コメント）　Σ_k=1〜nΣ_j=1〜k j ＝Σ_k=1〜nΣ_j=1〜kΣ_i=1〜j 1　より、問題を、

　　　　　　1〜n から３数 i、j、k （i≦j≦k） を選ぶ方法

と翻訳出来る発想に脱帽しました。らすかるさんに感謝します。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２９年７月２８日付け）

　和の公式より、　Σ_k=1〜n k＝n(n+1)/2　、Σ_k=1〜n k²＝n(n+1)(2n+1)/6

よって、

　Σ_k=1〜n {Σ_j=1〜k j }＝Σ_k=1〜n k(k+1)/2＝(1/2)Σ_k=1〜n (k²+k)＝n(n+1)(n+2)/6