でも可能な計算手順も示してください。
tan^3(1°) + tan^3(9°) + tan^3(17°) + tan^3(25°) + …… + tan^3(345°) + tan^3(353°)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年４月２７日付け）
つい最近ディガンマ関数(psi(x))で度数用のTANを作っていたのでこれを使って進めました。
過去にいろいろやっていた技を集めて構成した。
gp > TAN(x)=π/(psi((1-x/180)-psi(x/180))
gp > f(x)=prod(k=1,45,(x-TAN(8*k-7))) (tan(1°),･･･,tan(353°)を解にもつ多項式を構成）
gp > g(x)=deriv(x^10*x*f(x)) (一気に10乗までをまとめて示すための調整:derivは微分）
gp > divrem(g(x),f(x))[1] (g(x)をf(x)で割った商を算出）
%547 = 56*x^10 + 45.000000000000000000*x^9 + 4005.0000000000000000*x^8
+182205.00000000000000*x^7 + 10929645.000000000000*x^6
+ 614790045.00000000000*x^5 +35407536165.000000000*x^4
+ 2024683990605.0000000*x^3 + 116063372240685.00000*x^2
+ 6647909313592845.0000*x + 380883933932265765.00
これから、
tan(1°) + tan(9°) + tan(17°) + tan(25°) + …… + tan(345°) + tan(353°)
=>x^9の係数45
tan^2(1°) + tan^2(9°) + tan^2(17°) + tan^2(25°) + …… + tan^2(345°) + tan^2(353°)
=>x^8の係数4005
tan^3(1°) + tan^3(9°) + tan^3(17°) + tan^3(25°) + …… + tan^3(345°) + tan^3(353°)
=>x^7の係数182205
tan^4(1°) + tan^4(9°) + tan^4(17°) + tan^4(25°) + …… + tan^4(345°) + tan^4(353°)
=>x^6の係数10929645
･････････
tan^10(1°) + tan^10(9°) + tan^10(17°) + tan^10(25°) + …… + tan^10(345°) + tan^10(353°)
=>定数項380883933932265765
< 確認>
gp > sum(k=1,45,TAN(8*k-7)^3)
%548 = 182205.00000000000000
DD++ さんからのコメントです。（平成２９年４月２７日付け）
gp > g(x)=deriv(x^10*x*f(x)) (一気に10乗までをまとめて示すための調整:derivは微分）
ここって手計算で代数的に進められるんでしょうか？後の結果で、「.000000……」がついて
いるあたり、数値的に計算してそうな気配がしますが……。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年４月２８日付け）
tan(1°),tan(9°),tan(17°),････,tan(353°) を解にもつ多項式f(x)を
SIGN(n)=(-1)^C(n+1,2)と定義しておけば、
f(x)=Σ[n=0,22]SIGN(n)*C(45,n)*(x^(45-n)-x^n)
を手計算でなんとかいけないでしょうか？後は例のニュートン多項式で、
S[1]=45 、S[2]=-990 、S[3]=-14190 、T[1]=45 、T[2]=45^2-2*(-990)=4005
から、 T[3]=45*4005-(-990)*45+3*(-14190)=182205
DD++ さんからのコメントです。（平成２９年４月２８日付け）
はい、それなら手計算でもいけますね。
よおすけさんからのコメントです。（平成２９年４月２９日付け）
思考の過程重視で略解。
３倍角の正接の公式 ： tan3α=(3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2) より、
(tanα)^3=-tanα+3+3tanα×(tanα)^2+3tanα
ここで、α=1°、9°、・・・・、353°をそれぞれ代入して辺々足すと、
(tan1°)^3 +(tan9°)^3 +(tan17°)^3+(tan25°)^3+・・・+(tan345°)^3+(tan353°)^3
=-(tan3°+tan27°+・・・+tan1059°)
+3(tan3°(tan1°)^2+tan27°(tan9°)^2+・・・+tan1059°(tan353°)^2)
+3(tan1°+tan9°+・・・+tan353°)
