Σ_k=0〜∞ (1/(2k+1)²−1/(2k+2)²)

=(1/1^2-1/2^2)+(1/3^2-1/4^2)+(1/5^2-1/6^2)+･･･

=1-1/2^2+1/3^2-1/4^2+1/5^2-1/6^2+･･････

=π^2/12

と既知の数学定数で表される。

　では、

A=Σ_k=0〜∞ (1/(3k+1)²−1/(3k+2)²)
B=Σ_k=0〜∞ (1/(4k+1)²−1/(4k+3)²)
C=Σ_k=0〜∞ (1/(5k+1)²−1/(5k+3)²)
D=Σ_k=0〜∞ (1/(5k+1)²−1/(5k+4)²)

に対する真値はいかほどで、それは既知の定数やあるいはある関数を用いて表せるのかも？


　ａｔ さんからのコメントです。（平成２９年４月２５日付け）

　トリガンマ関数 (ディガンマ関数ψ(z)の1階微分) を使えば表せるようですね。（→　参考）

　Σ_k=0〜∞ (1/(3k+1)²−1/(3k+2)²) = 1/9 (polygamma(1, 1/3) - polygamma(1, 2/3))


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年４月２５日付け）

　at さんから紹介してもらったことで、ディガンマ関数について調べてみた。

　ディガンマ関数：psi(z)と表すと、

　psi(z)=dlog(Γ(z))/dz・・・・ガンマ関数の自然対数の一回微分

　これについて成り立つ性質や関係式を組み合わせて、いろいろ弄っていたら、この関数が
様々な数学定数や分数和、三角関数などの橋渡しをする役目を持つことが面白かったです。

[1]　psi(1)=lim_n→∞(log(n)-Σ[k=1,n]1/k)=-0.57721566490･･･=-Euler
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(この数学定数をオイラーの定数と呼ぶ）

[2]　(psi(1)-psi(1/2))/2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+･･･=log(2)

[3]　(2*psi(1)-psi(1/3)-psi(2/3))/3=log(3)

[4]　psi(3/4)-psi(1/4)=π

[5]　1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+･･･+1/n=psi(n+1)-psi(1)

[6]　tan(x)=π/(psi(1-x/180)-psi(x/180)) （xは度数法）

[７]　B(x)=(psi((x+1)/2)-psi(x/2))/2 とおくと、 sin(x)=π/(B(1-x/180)+B(x/180))　（xは度数法）

　また、このpsi(z)を微分したものを、psi’(z)で表すと、

[8]　1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+･･･+1/n^2=psi’(1)-psi’(n+1)

[9]　1/1^2-1/2^2+1/3^2-1/4^2+1/5^2-1/6^2+･･･=(psi’(1/2)-psi’(1))/4=π^2/12

[10]　1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/4^3+･･･+1/n^3=(psi”(n+1)-psi”(1))/2

[11]　1/1^4+1/2^4+1/3^4+1/4^4+･･･+1/n^4=(psi'''(1)-psi'''(n+1))/6

[12]　1/1^5+1/2^5+1/3^5+1/4^5+･･･+1/n^5=(psi''''(n+1)-psi''''(1))/24

[13]　ζ(n+1)=(-1)^(n+1)/n!*psi[n](1)  （psi[n](z)=d^npsi(z)/dz^n とする）

[14]　(1/1^2-1/2^2)+(1/4^2-1/5^2)+(1/7^2-1/8^2)+･･･=(psi'(1/3)-psi'(2/3))/9

[15]　(1/1^2-1/3^2)+(1/5^2-1/7^2)+(1/9^2-1/11^2)+･･･=(psi’(1/3)-psi’(2/3))/16
                                                  =0.9159655941772･･･=Catalan （カタラン定数と呼ぶ）

[16]　(1/1^2-1/3^2)+(1/6^2-1/8^2)+(1/11^2-1/13^2)+･･･=(psi’(1/5)-psi’(3/5))/25

[17]　(1/1^2-1/4^2)+(1/6^2-1/9^2)+(1/11^2-1/14^2)+･･･=(psi’(1/5)-psi’(4/5))/25

[18]　8*Catalan+π^2=psi’(1/4)

などなどが(たぶん）成立し、数学上のいろいろなものを結びつける接着剤の役目を果たす。