[問題]　和 Σ_n=0〜∞Σ_k=1〜∞ (２ⁿ・(ｎ＋ｋ)・(−１)^k-1)^-1 の値はいくらか?
　　　　(厳密な値を求めてください。)


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年４月２５日付け）

　答えは、　(4/3)log2

（計算）　1-1/2+1/3-1/4+…=log2 なので、

n=0の和が、 log2
n=1の和が、 -log2/2 + 1/(2^1*1)
n=2の和が、 log2/4 - 1/(2^2*1)+1/(2^2*2)
n=3の和が、 -log2/8 + 1/(2^3*1)-1/(2^3*2)+1/(2^3*3)
　・・・

　1-1/2+1/4-1/8+…=2/3　なので、上記を縦列ごとに足すと、

1列目の和が、 log2・(1-1/2+1/4-1/8+…)=(2/3)log2
2列目の和が、 1/(2^1*1)・(1-1/2+1/4-1/8+…)=(2/3)(1/(2^1*1))
3列目の和が、 1/(2^2*2)・(1-1/2+1/4-1/8+…)=(2/3)(1/(2^2*2))
4列目の和が、 1/(2^3*3)・(1-1/2+1/4-1/8+…)=(2/3)(1/(2^3*3))
　・・・

　x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+…=-log(1-x) から、

　1/(2^1*1)+1/(2^2*2)+1/(2^3*3)+…=-log(1-1/2)=log2

　よって、2列目以降の和は(2/3)log2なので、総和は、 (2/3)log2+(2/3)log2=(4/3)log2


　ａｔさんからのコメントです。（平成２９年４月２５日付け）

　らすかるさん、見事正解です。

　この和を WolframAlpha に計算させたところ、どうやらうまく計算できていないようです。今
回の出題は、Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｍａｔｈの頁にあった等式に x=1/2 を代入したものでした。

　a[n]=Σ_k=1〜∞ (n+k)・(-1)^k-1　とおくとき、等式

　　Σ_n=0〜∞ a[n]・xⁿ = (log(2)-log(1-x))/(1+x).

が成り立ちます。また、この頁によれば、

　　Σ_n=0〜∞ a[n]² 、Σ_n=0〜∞ (-1)ⁿ・a[n]²

といったような和も計算できるようです。