・5次方程式                          GAI 氏

 代数方程式が "代数的に解ける" かどうか、つまり係数に対する四則演算と根号の有限
個の組合せで解が表せるか?

 これに対し、アーベルとガロアは四次までの代数方程式についてはこれが可能。しかも、
ガロアはある条件さえ揃えば5次以上の代数方程式でもそれは可能であることを示した。

 そこで、それが可能である5次方程式の具体的式を

 x^5+a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 (a,b,c,d,eは0ではない整数)

の型として示して、3例ほど欲しい。


 DD++さんからのコメントです。(平成29年4月8日付け)

 代数的に記述できる5次の無理数の最小多項式を作る形でいくつか作り、モニックになっ
たものを3つ。
(四次方程式は代数的に解けるので、代数的に記述できる解が少なくとも1つある5次方程
式は、全ての解が代数的に記述できるはず)

 x^5 - 5x^4 - 10x^3 - 10x^2 - 5x - 1 = 0
 x^5 - 5x^4 + 10x^3 + 5x^2 + 20x - 7 = 0
 x^5 + 5x^4 + 5x^3 - 5x^2 - 5x - 5 = 0


 GAI さんからのコメントです。(平成29年4月10日付け)

 4次方程式より高い次数の方程式でも、代数的に解けることを見破ったガロアがみていた
世界を計算機の力を借りて体験してみた。(→ 考察

 まさにガロアが気づいた点は代数的に解ける方程式には、解の姿が非常に対称性が強い
性質があることを感じ取った、その感性故の事だったのだろう。



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