・ 微分の効用                   S.H氏

 2つの数
        (0.99)99   ,   (1.01)-101
を考える。

 果たして、どちらの方が大きい数なのだろう?

 普通の電卓が手元にあっても、両者の計算は大変だろうが、関数電卓を用いれば、次の
ような値であることが、直ぐ分かる。

     (0.99)99=0.3697296376・・・

     (1.01)-101=0.3660507052・・・

 したがって、(0.99)99 > (1.01)-101 である。

 このような解法は、電卓の使い方に慣れている現代の中学・高校生にとって、当然考えら
れるものである。

 しかし、この問題は、微分法を用いれば、関数電卓など持ち出さなくても、手計算による解
決が可能である。

 F(X)=(1−X)99(1+X)101 とおくと、その導関数 F’(X)は、

       F’(X)=2(1−X)98(1+X)100(1−100X)

 0<X<0.01 において、F’(X)>0 より、F(X) は単調に増加する。
よって、
       F(0.01)>F(0)=1  から、 (0.99)99(1.01)101>1
したがって、
         (0.99)99 > (1.01)-101

 微分法と一見無関係とも思える問題なのに、このように鮮やかに微分法が適用されて問
題が解決されることに、映画「セーラー服と機関銃」の薬師丸ひろ子風に言えば、

            『快感〜!!』

とでもなるのであろうか?!

(追記) 広島工業大学の大川研究室から、次のような別解もあるというご指摘をいただい
     た。

   F(X)=X・log X とおく。

   真数条件から、X>0 である。このとき、

     F’(X)=log X +X・(1/X) =log X +1

      F”(X)=1/X >0 

    であるので、

   F(X) は、X>0 において常に下に凸である。


      このとき、 
               

  が成り立つ。

   そこで、上式に、X=0.99、Y=1.01 を代入すると、

         (0.99log0.99+1.01log1.01)/2>0

  両辺を200倍して、99log0.99+101log1.01>0

  すなわち、 (0.99)99(1.01)101>1 となる。

  したがって、   (0.99)99 > (1.01)-101  が成り立つ。

(注意) 大川研究室によれば、微分を用いない解法もあるとのことであるが、具体的には
    示されなかった。勝手に予想すれば、多分、次のような解法だろうと思う。

    (0.99)99(1.01)101=(1−0.01)99(1+0.01)101
                 =(1−0.0001)99(1+0.01)2
                 =(1−0.0001)99×1.0201
    ここで、2項定理により、
    (1−0.0001)99=1−0.0099+992(0.0001)2993(0.0001)3
                                    +・・・−9999(0.0001)99
     2≦k≦98 において、
    99(0.0001)÷99k+1(0.0001)k+1=10000(k+1)/(99−k)
                                ≧30000/97>1
    であるので、2≦k≦98 において、
          99(0.0001)99k+1(0.0001)k+1>0
    よって、
         (1−0.0001)99>1−0.0099>0.99
    したがって、
        (0.99)99(1.01)101>0.99×1.02=1.0098>1
    から、
        (0.99)99 > (1.01)-101
    が成り立つ。

(コメント) 微分を使った場合と比べて、やはり計算の冗長さは否めない。「微分」というツ
      ールがいかに優れているかを如実に物語っている好例だと思う。

(補遺) このページを書き上げるのと相前後して、大川研究室から次のような別解をいた
    だいた。(証明一部補足)

    k を自然数とする。このとき、1≦n≦k を満たす自然数 n に対して、

      0 < X < 1/(2k) ならば、 1+2nX > (1−X)-n

    が成り立つ。実際に、

    n=1 のとき、左辺−右辺=1+2X−1/(1−X)=X(1−2X)/(1−X)

       0 < X < 1/(2k) ≦1/2 なので、1−2X>0、X>0、1−X>0 より、

    左辺−右辺>0 となる。

     よって、n=1 のとき、不等式は成り立つ。

    1≦m≦k−1 を満たす自然数 m について、不等式が成立すると仮定する。

    すなわち、
          0 < X < 1/(2k) ならば、 1+2mX > (1−X)-m
    このとき、
          0 < X < 1/(2k) ならば、 1+2(m+1)X > (1−X)-(m+1)
    が成り立つことを示す。

    左辺−右辺=1+2(m+1)X−(1−X)-(m+1)

            >1+2(m+1)X−(1+2mX)/(1−X)

            =X(1−2(m+1)X)/(1−X)

      m+1≦k 、0 < X < 1/(2k) なので、1−2(m+1)X≧1−2kX>0

    さらにまた、X>0、1−X>0 なので、左辺−右辺>0 となり、不等式は成り立つ。

    n =1 のとき不等式は成立したので、上の性質を順次適用することにより、

      1≦n≦k を満たす自然数 n に対して、

         0 < X < 1/(2k) ならば、 1+2nX > (1−X)-n

      が成り立つことが証明された。

    したがって、0 < X < 1/(2k) ならば、 1+2kX > (1−X)-k が成り立つ。

    この不等式において、k=99 とおくと、1+2・99・0.0001> (1−0.0001)-99

    0 < 0.0001 < 0.001<1/(2・99) であることに注意して、

    (1.01)2=1.0201>1.0198=1+2・99・0.0001

                         > (1−0.0001)-99= (0.99・1.01)-99
    したがって、
             (0.99)99 > (1.01)-101

    が成り立つ。

(コメント) とても技巧的ですね。特に、最後の 1−0.0001=0.99×1.01 という
      計算には、思わず感嘆のため息をついてしまいました。


 平成19年度学習院大学理学部の入試問題として、次のような問題が出題された。

 x の方程式 a・cos2x+4sinx−3a+2=0 が解を持つような実数aの範囲を求めよ。

 ある程度の素養があれば、解答へのアプローチ、そして、数式処理が可能な問題で、入
試問題としては良問の部類に入るだろうし、どこ彼処の大学で出題されているであろう伝説
(レジェンド)の問題とも言える。

 私なら次のように解くだろう。

(解) sinx=t とおくと、−1≦t≦1 で、 a(1−t2)+4t−3a+2=0 より、

   a(t2+2)=4t+2 で、 t2+2≠0 より、 a=(4t+2)/(t2+2)

  y=(4t+2)/(t2+2) とおくと、 y’=4(t2−2t+2)/(t2+2)2>0

 よって、yは、単調に増加し、値域は、 −2/3≦y≦2

 したがって、題意を満たすためには、 −2/3≦a≦2 となる。  (終)


 多分、上記の解答は、ほとんどの人が行うものと推察される。これに対して、次のような解
答も可能だろう。

(別解) sinx=t とおくと、−1≦t≦1 で、 a(1−t2)+4t−3a+2=0

   すなわち、 at2−4t+2a−2=0

  a=0 のとき、 −4t−2=0 より、 t=−1/2 で解があるので、a=0 は適。

  a≠0 のとき、2次方程式 at2−4t+2a−2=0 が、−1≦t≦1 で解を持つ条件を
求めればよい。

 放物線 F(x)=at2−4t+2a−2 の軸の方程式は、 t=2/a

  2/a≦−1 すなわち、 2a≦−a2 より、 −2≦a<0 のとき、

    F(−1)F(1)≦0 すなわち、 (3a+2)(3a−6)≦0 より、 −2/3≦a≦2

    よって、 −2/3≦a<0

  2/a≧1 すなわち、 2a≧a2 より、 0<a≦2 のとき、

    F(−1)F(1)≦0 すなわち、 (3a+2)(3a−6)≦0 より、 −2/3≦a≦2

    よって、 0<a≦2

 −1<2/a<1 すなわち、 −a2<2a<a2 より、 a<−2、2<a のとき、

   判別式 D/4=4−a(2a−2)=−2(a2−a−2)=−2(a−2)(a+1)<0

   なので、解を持つことはない。

 以上から、求める範囲は、 −2/3≦a≦2 となる。  (終)


(コメント) もちろん、この別解もありなのだが、本解に比べてその煩雑さは計り知れない。
      微分の効用を実感するときであろう。


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