紹介したいと思います。多分、この手の問題に不慣れな受検生を大いに悩ますのに十分な
難問でしたが、数学愛好家の視点では感動的な良問でした。
下の図において、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であり、点Ｅは辺ＡＤの中点である。
また、点Ｆは辺ＢＣ上の点で、ＢＦ：ＦＣ＝３：１であり、点Ｇは辺ＣＤ上の点で、
ＣＧ：ＧＤ＝２：１である。線分ＢＧと線分ＥＦとの交点をＨとするとき、線分ＢＨと線分ＨＧ
の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（解） 条件より、 ＡＥ＝ＥＤ＝２ とすると、△ＧＢＣ∽△ＧＩＤ で、ＤＩ＝２ となる点ＩがＡＤの
延長上に取れる。このとき、△ＨＢＦ∽△ＨＩＥ より、ＢＨ：ＨＩ＝３：４ で、ＧＨ＝ｘ とおくと、
ｘ＋３ｋ ： ４ｋ−ｘ ＝ ２ ： １ （ｋは比例定数）
よって、 ｘ＋３ｋ ＝ ８ｋ−２ｘ から、 ｘ＝５ｋ/３ となるので、
ＢＨ ： ＨＧ ＝ ３ｋ ： ５ｋ/３ ＝ ９ ： ５ （終）
上記では、方程式を立てましたが、次のように解くことも可能でしょう。
（別解） 連比の考えを用いて、 ＢＨ：ＨＩ＝３：４＝９：１２ 、ＢＧ：ＧＩ＝２：１＝１４：７ より、
ＢＨ＝９、ＨＩ＝１２、ＢＧ＝１４、ＧＩ＝７ と考えると、ＧＨ＝５ となる。
よって、 ＢＨ ： ＨＧ ＝ ９ ： ５ である。 （終）
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです、（平成２９年３月１０日付け）
座標を適当に設け、B=(0，0)、H=(18/7，9/14)、G=(4，1) より、 比=9：5
また、次の問題の（ウ）も学力上位者を意識しての、よく考えられた問題と言えます。
下の図において、点Ｏは原点で、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを図のように定める。
ただし、点Ａのｘ座標は２で、線分ＡＢはｘ軸に平行、点Ｃのｘ座標は負で、
ＡＯ：ＯＣ＝２：３とする。さらに、点Ｅのｘ座標は３である。このとき、次の問いに答えな
さい。
（ア） ａの値を求めよ。
（イ） 直線ＢＣの式を求めよ。
（ウ） 線分ＤＦが三角形ＡＣＥの面積を２等分するとき、点Ｆのｘ座標を求めよ。
（解） 問題の条件より、 Ａ（２，２）、Ｂ（−２，２）、Ｃ（−３，−３）、Ｅ（３，−１） である。
（ア） ｙ＝ａｘ2 が点Ａを通るので、 ２＝４ａ より、 ａ＝１/２
（イ） 傾きが５の直線で点Ｂを通るので、 ｙ＝５（ｘ＋２）＋２＝５ｘ＋１２
（ウ） ｙ＝−ｘ＋２ と ｙ＝ｘ を連立して、点Ｄ（１，１）である。∠ＡＤＥ＝９０°で、ＡＤ＝
ＤＥ＝２
より、 △ＡＤＥ＝２ となる。また、△ＡＣＥ＝４×３÷２＋４×２÷２＝１０ なので、題意より、
△ＤＣＦ ： △ＤＦＥ ＝ ＣＦ ： ＦＥ ＝ ５ ： ３
となるように点Ｆを定めればよい。点Ｆのｘ座標をｘとすると、 ｘ＋３ ： ３−ｘ ＝ ５ ： ３
よって、 ３ｘ＋９＝１５−５ｘ より、 ８ｘ＝６ なので、 ｘ＝３/４ （終）
（コメント） 座標幾何の問題として一つ一つ地道に求めていくことも出来るが、上記のように
相似比を用いて解決するのが最も簡潔な解でしょう。
次の確率の問題は、手数が掛かりすぎて試験時間内では厳しいような．．．。
片方の面が白、もう片方の面が黒である同じ大きさで平らな円形の石が６個ある。これら６個の石の
白と黒の両面には、１、２、３、４、５、６の数がそれぞれ１つずつ書かれており、両面に書かれた数は
同じである。
大、小２つのさいころを同時に１回投げ、出た目の数によって、次の操作１、操作２を順に行うことと
する。
操作１： 大きいさいころの出た目の数の約数と同じ数が書かれた石をすべて裏返す。
操作２： 小さいさいころの出た目の数の約数と同じ数が書かれた石をすべて裏返す。
ただし、大、小２つのさいころはともに、１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとす
る。
今、すべての石の上の面が白であるとき、次の問いに答えなさい。
（ア） すべての石の白の面が上となる確率を求めよ。
（イ） 白の面が上になっているすべての石の、白の面に書かれた数の積が６０の倍数となる確率を求
めよ。
（解） 起こり得るすべての場合の数は、３６通り
（ア） ゾロ目の出る確率なので、 ６/３６＝１/６
（イ） 表を作ると、
