１！＝１、２！＝２、３！＝６、４！＝２４、５！＝１２０、６！＝７２０、７！＝５０４０、
　８！＝４０３２０、９！＝３６２８８０、１０！＝３６２８８００、１１！＝３９９１６８００、・・・

と取り留めのない計算を続けていくと、１００！を計算したときに、そこに現れる数字の分布
がどうなるか大いに気になるところである。そこで調査したところ、

１００！＝93,326,215,443,944,152,681,699,238,856,266,700,490,715,968,264,381,621,468,592,
　　　　　　963,895,217,599,993,229,915,608,941,463,976,156,518,286,253,697,920,827,223,758,
　　　　　　251,185,210,916,864,000,000,000,000,000,000,000,000

から、次のような結果を得た。

　この調査から、１００！は、１５８桁の数であることも分かる。

　また、１００÷５＝２０、１００÷２５＝４　から、１００！は末尾に「０」が２４個続く数で、それ
以外で残り６個が途中に出現することも分かる。

　ところで、１００桁絡みの問題が、京都大学前期文系（２０１７）で出題された。問題レベルは
「やや難」とのことである。


京都大学前期文系（２０１７）

　次の問に答えよ。ただし、０．３０１０＜ｌｏｇ₁₀ ２＜０．３０１１　であることは用いてよい。

（１）　１００桁以下の自然数で、２以外の素因数を持たないものの個数を求めよ。

（２）　１００桁の自然数で、２と５以外の素因数を持たないものの個数を求めよ。


　以下では、「１＝２⁰」と考えて、１も問題の条件を満たすものと考えるのでしょうね！

（解）（１）　条件を満たす数は、２^ｎ　（ｎは０以上の整数）の形で、　１≦２^ｎ＜１０¹⁰⁰　を満た
　　　　　すものの個数を求めればよい。

　両辺の常用対数をとって、　０≦ｎ・ｌｏｇ₁₀ ２＜１００

　０．３０１０＜ｌｏｇ₁₀ ２＜０．３０１１　より、

　　　１００/０．３０１１＜１００/ｌｏｇ₁₀ ２＜１００/０．３０１０

　１００/０．３０１１＝３３２．１１５５７・・・　、１００/０．３０１０＝３３２．２５９１・・・　なので、

　　０≦ｎ≦３３２　となり、求める個数は、　３３３個　である。

（２）　条件を満たす数は、２^ｎ５^ｍ　（ｎ、ｍは０以上の整数）の形で、　１≦２^ｎ５^ｍ＜１０¹⁰⁰
　　を満たすものの個数を求めればよい。

　　まず、（１）と同様にして、１≦５^ｍ＜１０¹⁰⁰　を満たすものの個数を求める。

　両辺の常用対数をとって、　０≦ｍ・ｌｏｇ₁₀ ５＜１００

　ここで、ｌｏｇ₁₀ ５＝１−ｌｏｇ₁₀ ２　より、　０．６９８９＜ｌｏｇ₁₀ ５＜０．６９９０　なので、

　　　１００/０．６９８９＜１００/ｌｏｇ₁₀ ２＜１００/０．６９９０

　１００/０．６９８９＝１４３．０８１９８・・・　、１００/０．６９９０＝１４３．０６１５１・・・　なので、

　　０≦ｍ≦１４３　となり、１００桁以下の自然数で５以外の素因数を持たないものの個数は、
１４４個　である。

　２^ｎ５^ｍ　（ｎ、ｍは０以上の整数）の形の数は、２^ｎまたは５^ｍで括ることにより、１００桁以下
の自然数で、２または５以外の素因数を持たないようにできる。

　よって、求める個数は、　３３３＋１４４−１＝４７６（個）　である。　　（終）