5^2+6*2^2=7^2 、5^2-6*2^2=1^2
337^2+7*120^2=463^2 、337^2-7*120^2=113^2
と、一般に、a^2+n*b^2 と a^2-n*b^2 が共に平方数と成り得る自然数(a，b，n)を探してい
るのですが、次は、n=13 で起こるとは思っているのですが、なかなか a，b を見つけられず
にいます。（２〜３日捜査中）
a，b についての範囲を広げてはいるのですが、何処まで広げていいものやら、広げる度
に時間がかかりすぎて困っています。
何方か論理的か効率よいプログラムで探してくれませんか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年２月２３日付け）
n=13の例 106921^2+13*19380^2=127729^2 、106921^2-13*19380^2=80929^2
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年２月２３日付け）
105000を越えるのか！a=50000〜80000位の部分でかなりの時間を費やしているところで
した。これに対応させるbもそれなりに存在するので、全検索で随分計算中が続いていまし
た。
ｎ＝5、6、7 に比べて一気に探し難いパターンになっていました。存在する a，b が知れて
すっきりしました。 ありがとうございました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年２月２４日付け）
いろいろ調査や試行錯誤を繰り返していたら、一般に、a^2+n*b^2とa^2-n*b^2が共に平方
数と成り得る自然数(a，b，n)を探すとき、全てをコンピュータに全検索を委ねる代わりに、あ
る程度手順を踏んでいくと探せる方法がとれることが見えてきました。
例えば、n=5の時の 41^2+5*12^2=49^2 、41^2-5*12^2=31^2 の他にも
3344161^2+5*1494696^2=4728001^2 、3344161^2-5*1494696^2=113279^2
も可能であることも見えてきました。
（これは全検索をまかせる方法ではとても無理だと思います。）
そこで腕におぼえがある方は、a^2+23*b^2 、a^2-23*b^2 が共に平方数になれる自然
数(a，b)は何か？に挑戦願います。
（もちろん途中での計算部分はコンピュータの力は活用してかまいません。）
自分の方法と比較検討をしてみたいので、その手順の概略も示してもらえれば有り難い
です。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年２月２４日付け）
905141617^2+23*144613560^2=1140299183^2、905141617^2-23*144613560^2=581618833^2
DD++さんからのコメントです。（平成２９年２月２４日付け）
249850594047271558364480641^2 + 5*5354229862821602092291248^2 = ？
249850594047271558364480641^2 - 5*5354229862821602092291248^2 = ？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年２月２５日付け）
らすかるさん、DD++さん、お二人とも、瞬時に求める手法をすでにマスターされていること
に改めて物事の理解の深さを痛感します。
日常こんな大きな数は無縁で、思考の彼方にある代物ですが楕円曲線というレールに乗
ることで旅することが容易に可能ならしめる先人の叡智や洞察力、そしてその道具としての
利用価値の絶大さにやっと気づかされているところです。
将来どんな学生にもこんな世界が広がっていることを小さい頃より教える取り組みをやっ
ておけば、もっと多くの人が携帯をいじくり回す時間を別の世界に誘うきっかけになると確信
します。
ところで、お二人とも数学にとても造詣が深いのですが、お仕事はその筋の方なのでしょう
か？趣味でやってますなんてことだったら腰を抜かしそうです。
ちなみにDD++さんの莫大な数をチェックしていたら、あえて
654686219104361^2+5*178761481355556^2=7670673904999239^2
654686219104361^2-5*178761481355556^2=518493692732129^2
を飛ばされていることに気づかされました。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年２月２５日付け）
おや、1つ（あるいはもっと）飛ぶんですね。私は n=5 の解2つを見て気づいたことがあった
ので実行してみただけで、ある n の1つめの解を見つける方法はサッパリです。
3344161^2+5*1494696^2=4728001^2 、3344161^2-5*1494696^2=113279^2
に登場する 1494696 について考えると、面白いことに気づきます。素因数分解すると、
1494696 = 2^3 * 3 * 7^2 * 31 * 41
いくつかを組み合わせると、 1494696 = 2 * 41 * 12 * 49 * 31
これを、 41^2+5*12^2=49^2 、41^2-5*12^2=31^2 という２つの式と見比べると、あまり
に露骨な関係が見てとれます。
さてそうすると、 4728001^2 - 113279^2 = 10*1494696^2 もこのあたりの積で書けるわけ
で、
4728001 + 113279 = 4841280 = 20 * 12^2 * 41^2
4728001 - 113279 = 4614722 = 2 * 49^2 * 31^2
つまり
4728001 = 10 * 12^2 * 41^2 + 49^2 * 31^2 、113279 = 10 * 12^2 * 41^2 - 49^2 * 31^2
という構造になっていることがわかります。すると、
3344161^2
= ( 4728001^2 + 113279^2 )/2
= ( 10 * 12^2 * 41^2 )^2 + ( 49^2 * 31^2 )^2
= 4 * 5^2 * 12^4 * 41^4 + ( 41^4 - 5^2 * 12^4 )^2
= ( 41^4 + 5^2 * 12^4 )^2
つまり、 3344161 = 41^4 + 5^2 * 12^4 という構造だったことがわかります。
ということで、この真似をして、
3344161^4 + 5^2 * 1494696^4 = 249850594047271558364480641
2 * 3344161 * 1494696 * 4728001 * 113279 = 5354229862821602092291248
で作ったのが私の投稿した式になります。きちんと文字を使って書くと、
a^2 + n*b^2 = p^2 、a^2 - n*b^2 = q^2 のとき、
(a^4 + n^2*b^4)^2 ± n*(2abpq)^2 = (a^4 - n^2*b^4 ± 2n*a^2*b^2)^2
ということになりますかね。
