３次方程式 x³＋x＋m＝0 について、次の２つの条件が成り立つような整数α、a、b、mの
組(α，a，b，m)の一例を答えなさい。

条件1：３つの解は、α、a＋bi、a-bi　ただし、i は虚数単位、aは実部、bは虚部

条件2：αは負の整数、a、b、m は正の整数

　解答例を挙げておきます。

(α，a，b，m)＝(-2，1，2，10)、(-8，4，7，520)、(-30，15，26，27030)、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(-112，56，97，1405040)、(-418，209，362，73035050)


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年１月２８日付け）

　m =  {(2+)^(3n)-(2-)^(3n)} / 3　（ただし、n∈N）　のとき条件を満たしますね。

　６番目の解は、m=3796417560　のとき、 α=-1560、a=780、b=1351

　上記の問題を改題してみました。

　mを整数とします。３次方程式 x³+2x+m=0 の解のうち少なくとも1つはガウス整数ではない
ことを証明してください。


　りらひいさんからのコメントです。（平成２９年１月２８日付け）

　３つの解がすべてガウス整数であると仮定する。そのうちの少なくとも一つは実数の整数
であるので、それをαとおく。

　x³+2x+m = (x-α)(x²+αx+α²+2)+α³+2α+m

であって、α³+2α+m = 0 なので、(x-α)(x²+αx+α²+2) = 0

　よって、残りの２つの解は、x²+αx+α²+2 = 0 の解である。

　この２次方程式の判別式をDとおくと、D = α²-4(α²+2) = -(3α²+8) ＜ 0

　解がガウス整数となるためには、|D|が整数の二乗である必要があるが、

　　|D| = 3(α²+2)+2 ≡ 2 (mod 3)

となるため、|D|は整数の２乗にはならない。

　よって、３つの解がすべてガウス整数であることはない。すなわち、解のうち少なくとも1つ
はガウス整数ではない。