1+2=3　、1+2+2^2=7　、1+2+2^2+2^3=15　、1+2+2^2+2^3+2^4=31　、･････････

と、どこまでも項の和を増やしても平方数や立方数、その他の冪乗数とも無縁である。

　ところが、

　1+3=4=2^2　、1+3+3^2=13　、1+3+3^2+3^3=40　、1+3+3^2+3^3+3^4=121=11^2

と、平方数と友達になれる。

　一般に、初項 1 で、公比が r で、項数が 2 なら、その和は、1+r なので、明らかに友達が
つくれるので、項数 m は、m≧3 としておく。

　さて、r＞1、m≧3、n＞1、q＞1 なる自然数(r，m，n，q)が、　(r^m-1)/(r-1)＝n^q　を構成で
きる組合せは如何に？


　ますた〜さんからのコメントです。（平成２９年１月３日付け）

　「A geometric series equalling a power of an integer」によると、 q = 2 、n が 3の倍数のと
き、n が 4 の倍数のとき、 q = 3 かつ n を 6 で割った余りが 5 でないとき」は解決していて、
一般には未解決らしいです。Ｗｅｂサイトも参考まで。( q = 2 の証明っぽい)