3*∫[0,1]sqrt(1-x)dx=∫[0,1]1/sqrt(1-x)dx
5*∫[0,1]sqrt(1-x^3)dx=3*∫[0,1]1/sqrt(1-x^3)dx
7*∫[0,1]sqrt(1-x^5)dx=5*∫[0,1]1/sqrt(1-x^5)dx
9*∫[0,1]sqrt(1-x^7)dx=7*∫[0,1]1/sqrt(1-x^7)dx
11*∫[0,1]sqrt(1-x^9)dx=9*∫[0,1]1/sqrt(1-x^9)dx
･･･････････････
一方、
2*∫[0,1]sqrt(1-x^2)dx=∫[0,1]1/sqrt(1-x^2)dx
3*∫[0,1]sqrt(1-x^4)dx=2*∫[0,1]1/sqrt(1-x^4)dx
4*∫[0,1]sqrt(1-x^6)dx=3*∫[0,1]1/sqrt(1-x^6)dx
5*∫[0,1]sqrt(1-x^8)dx=4*∫[0,1]1/sqrt(1-x^8)dx
6*∫[0,1]sqrt(1-x^10)dx=5*∫[0,1]1/sqrt(1-x^10)dx
･･････････････
たまたまどうもこの等式が成立しそうだと気づいたんですが、これって簡単に証明できるも
のなんですか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１２月１２日付け）
(前半)
∫[0〜1]dx/√(1-x^(2n+1)) - ∫[0〜1]√(1-x^(2n+1))dx
= ∫[0〜1]{1/√(1-x^(2n+1)) - √(1-x^(2n+1))} dx
= ∫[0〜1]{1 - (1 - x^(2n+1))}/√(1-x^(2n+1)) dx
= ∫[0〜1]x^(2n+1)/√(1-x^(2n+1)) dx
ここで、 x^(2n+1)/√(1-x^(2n+1)) = x・x^(2n)/√(1-x^(2n+1)) と分けて部分積分して、
= [-(2/(2n+1))x√(1-x^(2n+1))][0〜1] + (2/(2n+1))∫√(1-x^(2n+1))dx
= (2/(2n+1))∫√(1-x^(2n+1))dx
なので、
(2n+1){∫[0〜1]dx/√(1-x^(2n+1)) - ∫[0〜1]√(1-x^(2n+1))dx} = 2∫√(1-x^(2n+1))dx
よって、 (2n+1)∫[0〜1]dx/√(1-x^(2n+1)) = (2n+3)∫√(1-x^(2n+1))dx
(後半)
∫[0〜1]dx/√(1-x^(2n)) - ∫[0〜1]√(1-x^(2n))dx
= ∫[0〜1]{1/√(1-x^(2n)) - √(1-x^(2n))}dx
= ∫[0〜1]{1 - (1 - x^(2n))}/√(1-x^(2n)) dx
= ∫[0〜1]x^(2n)/√(1-x^(2n)) dx
ここで、 x^(2n)/√(1-x^(2n)) = x・x^(2n-1)/√(1-x^(2n)) と分けて部分積分して、
= [-x√(1-x^(2n))/n][0〜1] + (1/n)∫[0〜1]√(1-x^(2n)) dx
= (1/n)∫[0〜1]√(1-x^(2n)) dx
なので、
n{∫[0〜1]dx/√(1-x^(2n)) - ∫[0〜1]√(1-x^(2n))dx} = ∫[0〜1]√(1-x^(2n)) dx
よって、 n∫[0〜1]dx/√(1-x^(2n)) = (n+1)∫[0〜1]√(1-x^(2n)) dx
（コメント） 部分積分の使い方が芸術的ですね！感動しました。
なつさんからのコメントです。（平成２８年１２月１２日付け）
らすかるさんがすでに証明されてますが、上も下も結局は以下の恒等式によるものなので、
まとめて示すこともできます。
(2＋n)∫[0,1]sqrt(1−x^n)dx＝n∫[0,1]1/sqrt(1−x^n)dx (n∈N)
証明はいろいろやり方ありそうですね。私も部分積分でやってみました。
∫[0,1]sqrt(1−x^n)dx
＝[x*sqrt(1−x^n)]^1_0−∫[0,1](−nx^n)/{2*sqrt(1−x^n)}dx
＝∫[0,1](nx^n)/{2*sqrt(1−x^n)}dx
＝∫[0,1]{n−n(1−x^n)}/{2*sqrt(1−x^n)}dx
＝(n/2)∫[0,1]1/sqrt(1−x^n)dx−(n/2)∫[0,1]sqrt(1−x^n)dx
移項して両辺2倍すると最初の式が得られます。
