惑わすような問題を出して平気なのだろうか？
問題１ 以下の問いに答えなさい。
問１ ０＜ａ＜ｂ とする。数列｛ａｎ｝、｛ｂｎ｝を次で定める。
ａ1＝ａ、ｂ1＝ｂ、ａｎ+1＝√（ａｎｂｎ）、ｂｎ+1＝（ａｎ＋ｂｎ）/２
このとき２つの数列｛ａｎ｝、｛ｂｎ｝は同一の極限値に収束することを示しなさい。
問２ 数列｛ａｎ｝の極限値 ｌｉｍｎ→∞ ａｎ を求めなさい。
問１は、数列｛ａｎ｝が単調増加で上に有界、数列｛ｂｎ｝が単調減少で下に有界であることが
数学的帰納法により簡単に示され、収束することが分かり、さらに、同一の極限値に収束す
ることも容易である。
問題は、問２の方である。果たして高校生が解きうる問題なのだろうか、甚だ疑問である。
問２については、算術幾何平均と言われ、初等関数で表すことは困難であるが、収束はか
なり速い。
Ｓ（Ｈ）さんが、収束の様子を調べられた。（平成２８年１２月４日付け）
ａ＝19、ｂ＝69 と幅があっても瞬時に近づく。
{19.00000000000000000, 69.00000000000000000}
{36.20773398046334520, 44.00000000000000000}
{39.91416158633909210, 40.10386699023167260}
{40.00890185052768189, 40.00901428828538235}
{40.00895806936703393, 40.00895806940653212}
{40.00895806938678303, 40.00895806938678303}
{40.00895806938678303, 40.00895806938678303}
問１についても、「上に有界な単調増加数列は収束」という事実は高校では教わらないはず
で、これも学習指導要領の範囲外ではないだろうか？まさに筑波大学、恐るべしである。
問題２ 空間内に４点Ａ（２，１，０）、Ｂ（１，０，１）、Ｃ（０，１，２）、Ｄ（４，−２，−８）をとる。
３点Ａ、Ｂ、Ｃを含む平面をαとする。以下の問に答えなさい。
問１ 平面αと直交し、大きさが１のベクトルｈ＝（ｈ1，ｈ2，ｈ3）を求めなさい。ただし、ｈ1＞０
とする。
問２ 平面αに関して点Ｄと対称な点をＥとするとき、点Ｅの座標を求めなさい。
この問題２も旧課程の内容を色濃く残している。新課程風に、ＢＡ・ｈ＝０、ＢＣ・ｈ＝０か
ら解いても出来るが、慣れ親しんだ旧課程の方法で解いてみよう。
問１ 平面αの方程式を、ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０ （ａ、ｂ、ｃ、ｄがともに０になることはない）と
おくと、３点Ａ（２，１，０）、Ｂ（１，０，１）、Ｃ（０，１，２）を通ることから、
２ａ＋ｂ＋ｄ＝０ 、ａ＋ｃ＋ｄ＝０ 、ｂ＋２ｃ＋ｄ＝０
よって、 （第１式）−（第３式）から、 ａ＝ｃ 、ｄ＝−２ａ で、このとき、 ｂ＝０
以上から、平面αの方程式は、 ｘ＋ｚ−２＝０
ベクトル（１，０，１）は平面αに垂直で、 ｈ＝（１/
）（１，０，１）問２ ＢＥ＝ＢＤ＋ＤＥ＝（３，−２，−９）＋ｔ（１，０，１）＝（ｔ＋３，−２，ｔ−９） より、
Ｅ（ｔ＋４，−２，ｔ−８）
このとき、ＤＥの中点（ｔ/２＋４，−２，ｔ/２−８）が平面α上にあるので、
ｔ/２＋４＋ｔ/２−８−２＝０ すなわち、 ｔ−６＝０ から、 ｔ＝６
よって、 Ｅ（１０，−２，−２）
なつさんからのコメントです。（平成２８年１２月６日付け）
友人がたまたま受けてて、問題を見せて貰ってたのですが、この問題１には戦慄しました。
問１ならまだしも、問２は算術幾何平均を知らないとどうすればいいんですかね…。
次の問題３は、医学部の入試問題に相応しい問題だろう。
問題３ ある病気の再発を調査した。以下の問に答えなさい。
問１ Ａ地区では１０，０００人中２，００１人が再発し、Ｂ地区では４０，０００人中７，９９９人が
再発した。このとき、再発割合に対する信頼区間の幅について、Ａ地区とＢ地区の比を求
めなさい。ただし、信頼度を９５％とする。
問２ 病院Ｃでは９人の患者のうち６人が再発した。この９人の患者から無作為に３人を選ん
だときに、２人が再発患者である確率を求めなさい。ただし、解答は小数点以下２桁まで
示すこと。
問２の方は、 6Ｃ2・3Ｃ1/9Ｃ3＝１５/２８＝０．５３５７・・・ よって、求める確率は、０．５３
かな？
