漸化式　a[1]=2、b[1]=3、c[1]=4、

　　a[n+1]=4*a[n]、b[n+1]=2*a[n]+b[n]、c[n+1]=a[n]+b[n]+c[n]/4

で決まる数列{a[n]}、{b[n]}、{c[n]}があるとき、放物線 H_n：y=a[n]*ｘ²+2*b[n]*ｘ+c[n]

とｘ軸との交点をP_n、Q_nで表すとき、Σ_k=1〜∞ P_kQ_k は？

　ただし、P_kQ_kは、２点間の距離を示す。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年１１月１４日付け）

　総和は、「4/3」かしら？【出典】は?


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１１月１４日付け）

　どうしてかしら？


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年１１月１４日付け）

　放物線 H_n：y=2^2n-1ｘ²+(2/3)(4ⁿ+5) ｘ+(1/9)2^1-2n(2⁴ⁿ+5・2²ⁿ⁺¹+16)　なので。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１１月１４日付け）

　a[n]=2^2n-1　、b[n]=(2/3)(4ⁿ+5)　、c[n]=(1/9)2^1-2n(2⁴ⁿ+5・2²ⁿ⁺¹+16)　と多大な労力をお
疲れ様です。

　H_nの判別式D[n]/4=b[n]^2-a[n]*c[n]

=(2a[n-1]+b[n-1])^2-4a[n-1]*(a[n-1]+b[n-1]+c[n-1]/4)

=4a[n-1]^2+4a[n-1]*b[n-1]+b[n-1]^2-4a[n-1]^2-4a[n-1]*b[n-1]-a[n-1]*c[n-1]

=b[n-1]^2-a[n-1]*c[n-1]=D[n-1]/4　　から、

=････=D[1]/4=b[1]^2-a[1]*c[1]=3^2-2*4=1

をもたらしてくれる漸化式なので、かしら．．．。  


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年１１月１４日付け）

　放物線をx軸の正の方向に2/3平行移動します。

H’_n ： y = a[n]*(x-2/3)^2 + 2*b[n]*(x-2/3) + c[n]
H’_n ： y = a[n]*x^2 + 2*(b[n]-2/3*a[n]) + (c[n]-4/3*b[n]+4/9*a[n])

すると、a[n+1] = 4*a[n]

b[n+1]-2/3*a[n+1] = 2*a[n]+b[n]-8/3*a[n] = b[n]-2/3*a[n]

c[n+1]-4/3*b[n+1]+4/9*a[n+1] = a[n]+b[n]+c[n]/4-8/3*a[n]-4/3*b[n]+16/9*a[n]
= (c[n]-4/3*b[n]+4/9*a[n])/4

なので、H’_n+1 は H’_n を原点中心に1/4に縮小したものとわかります。

　P_nやQ_nもx軸の正の方向に2/3平行移動すると、P’₁Q’₁は区間[-4/3,-1/3]で、これを原
点中心に1/4に縮小すると、P’₂Q’₂は区間[-1/3,-1/12]、P’₃Q’₃は区間[-1/12,-1/48]、
……

　つまり、Σ_k=1〜∞ P_kQ_k = Σ_k=1〜∞ P’_kQ’_k は、区間 [-4/3,0] の長さを意味するので、
答えは4/3

#これだと各区間の長さを出しているも同然なので区間が一繋がりになっていることを示す
メリットがないわけですが、もっと綺麗な解法はないものでしょうか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１１月１４日付け）

　H_n：y=a[n]x²+2b[n]x+c[n]=0　から、x₁=(-b[n]-√1)/a[n]、x₂=(-b[n]+√1)/a[n]が根となる。

これから、P_nQ_n=x₂-x₁=2/a[n]=2/(2*4^n-1)=(1/4)^n-1　なので、

Σ_k=1〜∞ P_kQ_k=lim_n→∞ (1-(1/4)ⁿ)/(1-1/4)=4/3


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年１１月１４日付け）

　「計算が楽な方法」だったらそれでいいんですけど、綺麗な方法=問題の設定を活かした方
法という意味では、その解答って台無しじゃないですか？