・賞味期限                              GAI 氏

 10桁の自然数Nがあり、最初と最後の数字を取り除くと、「20161113」という本日の日付に
なるという。ただし、Nは、本日の日にち13で割り切れるという。

 さてそのNは?


(コメント) 意外にたくさんありますね!

 1201611138 、2201611139 、6201611130 、7201611131 、8201611132 、9201611133

 1000000000 は、13 で割ると余りが 12 で、201611130 は、13 で割ると余りが 6 なので、

 10桁の自然数 N=A*1000000000+201611130+a が13 で割り切れるためには、

   12*A+6+a≡0 (mod 13)

が成り立てばよい。計算を速くするために、 12≡-1 (mod 13) を利用して、

  A≡6+a (mod 13)

 よって、(a,A)=(0,6)、(1,7)、(2,8)、(3,9)、(8,1)、(9,2)が全ての場合を与える。


 壊れた扉さんから別解をいただきました。(平成28年11月13日付け)

 13の倍数の判定法より、N=a20161113b と置いて3桁ごとに区切って奇数群の和と偶
数群の和の差を取ると、

 611+a−(13b+201)=611+a−(331+b)=a−b+280

 これが13の倍数より、280÷13=21・・・7 なので、 a−b=−7 または 6

(@) a=b−7 の場合、a=1,b=8 a=2,b=9

(A) a=b+6 の場合、a=6,b=0 a=7,b=1 a=8,b=2 a=9,b=3

よって、N=1201611138,2201611139,6201611130,7201611131,
       8201611132,9201611133



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