たまには変わった関数の積分でもいかがですか？

[1]　∫₀³ [ｘ²]ｄｘ　の値を求めて下さい。（ただし、[ｘ]は、ｘ を越えない最大の整数）

なお、[ｘ] は、floor関数（床関数）とも呼ばれる。　floor(ｘ)=max{n∈Z | ｎ≦ｘ } と定義されるも
のとする。

　さらに、これと対になっている ceiling関数（天井関数 ・・・　ｘ を下回らない最小の整数）
ceiling(ｘ)=min{n∈Z | ｘ≦ｎ } と組み合わせて

[2] ∫₀³ ceiling(ｘ²+floor(ｘ))ｄｘ の値を求めて下さい。


[3] 　ｙ＝１/ｘ　(１≦ｘ＜∞) をｘ軸の周りに回転させた回転体Ｒ₁の表面積Ｓ₁と体積Ｖ₁を求
　　めよ。

[4]　ｙ²＝ｘ³/(１−ｘ)　(シッソイド曲線）　の ０≦ｙ＜∞ の部分をｙ軸の周りに回転させた回転
　　体Ｒ₂の表面積Ｓ₂と体積Ｖ₂を求めよ。


[5]　半径が ｒ で高さが ｈ である円錐の体積は、V₁＝πｒ²ｈ/３　で計算できる。これは言い
　　かえれば、側面が直線でできている図形を回転して構成計算できる。

　　 そこで、側面が双曲線、放物線、楕円となる同じく半径 ｒ 、高さが ｈ となる回転体とした
　　ときのそれぞれの体積V₂、V₃、V₄の値を求めよ。