・積分の問題                           GAI 氏

 たまには変わった関数の積分でもいかがですか?

[1] ∫03 [x2]dx の値を求めて下さい。(ただし、[x]は、x を越えない最大の整数)

なお、[x] は、floor関数(床関数)とも呼ばれる。 floor(x)=max{n∈Z | n≦x } と定義されるも
のとする。

 さらに、これと対になっている ceiling関数(天井関数 ・・・ x を下回らない最小の整数)
ceiling(x)=min{n∈Z | x≦n } と組み合わせて

[2] ∫03 ceiling(x2+floor(x))dx の値を求めて下さい。


[3]  y=1/x (1≦x<∞) をx軸の周りに回転させた回転体R1の表面積S1と体積V1を求
  めよ。

[4] y2=x3/(1−x) (シッソイド曲線) の 0≦y<∞ の部分をy軸の周りに回転させた回転
  体R2の表面積S2と体積V2を求めよ。


[5] 半径が r で高さが h である円錐の体積は、V1=πr2h/3 で計算できる。これは言い
  かえれば、側面が直線でできている図形を回転して構成計算できる。

   そこで、側面が双曲線、放物線、楕円となる同じく半径 r 、高さが h となる回転体とした
  ときのそれぞれの体積V2、V3、V4の値を求めよ。



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