・オートファジー多項式                     GAI 氏

 0でない整数を係数とする項数 n+1個 のn次多項式F(x)がある。これに対し、F(x)2を計算
すると、元のF(x)の項数かそれ未満となるものをオートファジー多項式とする。

 4次、5次、6次のオートファジー多項式F4(x)、F5(x)、F6(x)の具体例をそれぞれ求めて下さ
い。また、その経緯の概略を説明して下さい。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年10月28日付け)

 F4(x)とF6(x)は作れましたが、F5(x)はうまくいきませんでした。

  (x4-2x3-2x2-4x+4)2=x8-4x7+28x4-32x+16

  (x6-2x5-2x4-4x3-10x2-50x+125)2=x12-4x11-44x7+506x6-220x5-12500x+15625


 GAI さんからのコメントです。(平成28年10月28日付け)

 そうなんですよね。

 x5+2x4-2x3+4x2+2x+4やx5+2x4-2x3-2x2-4x+4やx5+2x4-2x3+8x2+8x-4など惜しいところ
(項数7)まで行くんですが、あと一つがどうしても突破しない。

 従って、ついつい最高次が奇数の多項式には存在せずと言ってしまいそうになるんですが、
ちょっと待った!

G(x)=x17+2x16-2x15+4x14+8x13-8x12-8x11-16x10+16x9+32x8
                      +64x7-64x6-160x5-320x4+320x3+896x2+1792x-1797

の17次の多項式(項数18)では、G(x)2 では項数はなんと17と驚異的なものがある。

 因みに、私が2日をかけてやっと探し出したF6(x)の姿は、

F6(x)=8000x6+1600x5-160x4+32x3-8x2+4x+1
(もちろん、F6(x)=x6+4x5-8x4+32x3-160x2+1600x+8000 でもOK)

でした。圧倒的多数が長たらしい12次の多項式が続く中、この突然項数を減らしたものが出
現するのが凄いです。はじめてこれに出会ったときは感激しました。


 DD++さんからのコメントです。(平成28年10月28日付け)

 この条件を満たすのは自己相反多項式かその変形(xをkxに変える)だけかと思ったらそう
でもないんですね。

 奇数次の場合は自己相反多項式を仮定したときに過剰系になってしまうのですが、自己
相反でない場合は過剰系にはならないというわけですか。偶数次でも自己相反やその変形
以外で条件を満たす場合はあるのでしょうか?


 GAI さんからのコメントです。(平成28年10月28日付け)

 H(x)=x12+2x11-2x10+4x9-10x8+50x7+15x6-220x5+220x4-440x3+1100x2-5500x-13750

 J(x)=x28+2x27-2x26+4x25+6x24+4x23-4x22+8x21+6x20-4x19+4x18-8x17-4x16+8x15-8x14
    +16x13+6x12-20x11+20x10-40x9-12x8+56x7-56x6+112x5+28x4-168x3+168x2-336x-336

なんかが条件に合うかと・・・。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年10月28日付け)

 私が作った (x6-2x5-2x4-4x3-10x2-50x+125)2 とGAIさんの

  F6(x)=8000x6+1600x5-160x4+32x3-8x2+4x+1

は基本的に同じですね。私の式の係数を上下反転してxに-2xを代入するとGAIさんの式に
なります。

 F5(x)は、全パターン考えてみましたが、やっぱり(見落としや計算間違いがなければ)「不
可能」でした。


 DD++さんからのコメントです。(平成28年10月28日付け)

 H(x)=x12+2x11-2x10+4x9-10x8+50x7+15x6-220x5+220x4-440x3+1100x2-5500x-13750
   =(x6-110)(x6+2x5-2x4+4x3-10x2+50x+125)

 自己相反の変形で作った f6(x) に二乗の残存項がダブる(しかも1つx11乗項が消える)よ
うに適当に掛けたわけですね。1つ消えなくても平方が13項なので条件を満たしますね。

 J(x)=x28+2x27-2x26+4x25+6x24+4x23-4x22+8x21+6x20-4x19+4x18-8x17-4x16+8x15-8x14
    +16x13+6x12-20x11+20x10-40x9-12x8+56x7-56x6+112x5+28x4-168x3+168x2-336x-336
   =(x24+2x20-2x16+4x12-10x8+28x4-84)(x4+2x3-2x2+4x+4)

も同じくf4(x)からですね。こちらは普通にやるとけっこう頑張って消さないとダメかな?

 なるほど、確かにこういう変形は見落としていましたが、何にせよ、ベースは自己相反の変
形ですね。自己相反を前提に求めたものに全く関わっていそうもないものはないでしょうか?



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