S(r，n)＝１^r＋(１^r＋２^r)＋(１^r＋２^r＋３^r)＋･･･＋(１^r＋２^r＋３^r＋･･･＋ｎ^r)

としたとき、

　S(1，n)　、S(2，n)　、S(3，n)　、S(4，n)　、S(5，n)

は、どんな式で表されるか？


（コメント）　オイラーが好きだったと言われる等式

　　Σ_ｋ=1〜ｎ ｋ（ｋ＋１）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/３

を用いて、

　S(1，n)＝（Σ_ｋ=1〜ｎ ｋ（ｋ＋１））/２＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/６

同様に、

　S(2，n)＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）/１２−ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/６＝ｎ（ｎ＋１）²（ｎ＋２）/１２

　他も同様の計算で出来ると思われるが、もっと上手い計算方法があるかも．．．。


　らすかるさんから解答をいただきました。（平成２８年１０月１７日付け）

S(r，n)

＝１^r＋(１^r＋２^r)＋(１^r＋２^r＋３^r)＋･･･＋(１^r＋２^r＋３^r＋･･･＋ｎ^r)

＝ｎ・１^r＋(ｎ-1)･２^r＋(ｎ-2)･３^r＋・・・＋１･ｎ^r

＝（ｎ+1）（１^r＋２^r＋３^r＋･･･＋ｎ^r）−（１・１^r＋２･２^r＋３･３^r＋・・・＋ｎ･ｎ^r）　・・・(*)

＝（ｎ+1）（１^r＋２^r＋３^r＋･･･＋ｎ^r）−（１^r+1＋２^r+1＋３^r+1＋・・・＋ｎ^r+1）

＝（ｎ＋１）Σ_ｋ=1〜ｎ ｋ^r−Σ_ｋ=1〜ｎ ｋ^r+1

なので、

S(1，n)＝(n+1)Σk-Σk²＝n(n+1)²/2-n(n+1)(2n+1)/6＝n(n+1)(n+2)/6

S(2，n)＝(n+1)Σk²-Σk³＝n(n+1)²(2n+1)/6-n²(n+1)²/4＝n(n+1)²(n+2)/12

S(3，n)＝(n+1)Σk³-Σk⁴＝n²(n+1)³/4-n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
　　　　＝n(n+1)(n+2)(3n²+6n+1)/60

S(4，n)＝(n+1)Σk⁴-Σk⁵＝n(n+1)²(2n+1)(3n²+3n-1)/30-n²(n+1)²(2n²+2n-1)/12
　　　　＝n(n+1)²(n+2)(2n²+4n-1)/60

S(5，n)＝(n+1)Σk⁵-Σk⁶＝n²(n+1)³(2n²+2n-1)/12-n(n+1)(2n+1)(3n⁴+6n³-3n+1)/42
　　　　＝n(n+1)(n+2)(n²+2n-1)(2n²+4n+1)/84

（参考）　らすかるさんのＨＰ：「ｋ乗和の公式」


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１０月１７日付け）

　こんなに整理できるんですね。ベキ和の公式をわざわざ展開して、再びその展開式でΣを
とって求めていました。整理には手作業では煩雑なので、計算ソフトを使ってまた因数分解
も同じくコンピュータに手伝ってもらい、進めていました。

　従って、理屈では単純だが、実際作業すると面倒だという意識で出題しておりました。らす
かるさんの解答を読んで、自分の思惑が見事回避されていることに驚きました。しかし、結
果を比較することで、あの長たらしい作業が間違いなく進められていたことに安心しました。
出題して良かったです。また知らないことを知ることができました。


（コメント）　らすかるさんの計算の(*)の式変形に感動しました。