m個のさいころを同時に投げることをn回くり返す。このとき、少なくとも1回さいころが全て
1の目が出ることになる確率が1/2を越えることになるためには、あなたは何回挑戦するこ
とになるか?
m=1、2、3、4、5、6 に対する試行回数nをそれぞれ求む。
らすかるさんが考察されました。(平成28年10月11日付け)
1回投げて全て1の目が出る確率は、(1/6)m なので、n回投げて少なくとも1回全て1の
目が出る確率は、
1-(1-(1/6)m)n
1-(1-(1/6)m)n>1/2 を解くと、 n>-1/log2 (1-(1/6)m)
よって、m = 1〜6 に対して、 n≧4、25、150、898、5390、32340
(検算) m = 1 のとき、 (1-1/6)^3 = 0.57870370… 、(1-1/6)^4 = 0.48225308…
m = 2 のとき、 (1-1/36)^24 = 0.50859612… 、(1-1/36)^25 = 0.49446845…
m = 3 のとき、 (1-1/216)^149 = 0.50086606… 、(1-1/216)^150 = 0.49854723…
m = 4 のとき、 (1-1/1296)^897 = 0.50037533… 、(1-1/1296)^898 = 0.49998924…
m = 5 のとき、 (1-1/7776)^5389 = 0.50003639… 、(1-1/7776)^5390 = 0.49997208…
m = 6 のとき、 (1-1/46656)^32339 = 0.50000137… 、(1-1/46656)^32340
= 0.49999065…
# ちゃんと確かめていませんが、6^m×log[e]2を四捨五入した値で良さそうですね。
(コメント) WolframAlpha先生にお助けを求めて、
m=1 のとき、 n>3.80・・・ より、nの最小値は、4
m=2 のとき、 n>24,61・・・ より、nの最小値は、25
m=3 のとき、 n>149.37・・・ より、nの最小値は、150
m=4 のとき、 n>897.97・・・ より、nの最小値は、898
m=5 のとき、 n>5389.57・・・ より、nの最小値は、5390
m=6 のとき、 n>32339.13・・・ より、nの最小値は、32340