方程式 ｔａｎ ｘ＝ｘ の正の根のうち最小のものを a₁、その次に小さいものを a₂とする。
このとき、定積分∫₀¹ ｓｉｎ(a₁x)・ｓｉｎ(a₂x)ｄｘ の値は如何に？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年１０月７日付け）

　a₁とa₂がほぼπ差なので、綺麗に計算できるなら、０になることが予想できますね。

　実際にやってみると、

　a₁²∫₀¹ ｓｉｎ(a₁x)・ｓｉｎ(a₂x)ｄｘ

＝−a₁ｃｏｓ(a₁)・ｓｉｎ(a₂) ＋ a₁a₂∫₀¹ ｃｏｓ(a₁x)・ｃｏｓ(a₂x) ｄｘ

一方、

　a₂²∫₀¹ ｓｉｎ(a₁x)・ｓｉｎ(a₂x)ｄｘ

＝−a₂ｓｉｎ(a₁)・ｃｏｓ(a₂) ＋ a₁a₂∫₀¹ ｃｏｓ(a₁x)・ｃｏｓ(a₂x) ｄｘ

よって、

(a₁²−a₂²)∫₀¹ ｓｉｎ(a₁x)・ｓｉｎ(a₂x)ｄｘ

＝−a₁ｃｏｓ(a₁)・ｓｉｎ(a₂) ＋ a₂ｓｉｎ(a₁)・ｃｏｓ(a₂)

＝−a₁a₂ｃｏｓ(a₁)・ｃｏｓ(a₂) ＋ a₁a₂ｃｏｓ(a₁)・ｃｏｓ(a₂)＝０

つまり、  ∫₀¹ ｓｉｎ(a₁x)・ｓｉｎ(a₂x)ｄｘ＝０