自然数Nが、N=16k+2 (k=1、2、3、･･･)型のものであれば、N=a²+b²+c² (a、b、c∈N)　と３
つの平方数の和で表すことができる。

＜例＞　18=4²+1²+1²　、34=4²+3²+3²　、50=5²+4²+3²　、･････　、
　　　　　162=11²+5²+4²=12²+3²+3²=8²+7²+7²　、178=12²+5²+3²=9²+9²+4²　、･････　、
　　　　　1602=35²+19²+4²　、･････

　　　　　の様に永遠に出来る。

　これは信じてもよいのか？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年９月６日付け）

　4の倍数以外の場合、8で割った余りが7以外であることが必要十分条件です。上記は、余
り2なので常に可能です。

　4の倍数の場合は、4で割った数が3つの平方数の和に書けるかどうかが必要十分条件。


　ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２８年９月６日付け）

　「4の倍数以外の場合、8で割った余りが7以外であることが必要十分条件」は、
N=ｘ²+ｙ²+ｚ² (ｘ、ｙ、ｚ∈Z)　の時ではないですか？

　「余り2なので常に可能」について、自然数で表すので、0²は含まれないことになりますから
k=8 即ち、N=130はどう頑張っても　a²+b²+c²　の形には出来そうにありません。(a、b、c≧1)

　それ以外は全て作れそうです。（ただこの一点のみが傷となる。）


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年９月６日付け）

　あ、数式と日本語が食い違っていたのですね。

　「３つの「0でない」平方数の和で表すことができる」ならば、なるほどどうなのでしょうね。
少し考えてみます。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２８年９月６日付け）

　自然数3個の平方和で表せない必要十分条件は、実験の結果、4で割り切れなくなるまで
割った結果の数が、8n+7型か、あるいは、1、2、5、10、13、25、37、58、85、130のいずれか
となりそうです。

　上記の数列は「A051952」にありました。やはり間違いないようです。


　ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２８年９月７日付け）

　ここは、N=4^m(8n+7)　(m、n≧0)　を満たす集合を、全自然数から取り去ったものの集合を
A(+0²を含む)、
（これは直接N=8k+1,8k±2,8k±3 (k=0、1、2、3、・･･)であるものの集まりでもよい。）
さらに、N=a²+b²+c² (a、b、c∈N)　で構成できるNの集合をBとしたとき(+0²を含めない)、

　A-(A∩B)={1,2,5,10,13,25,37,58,85,130}

が抽出される。即ち、この10個は、N=ｘ²+ｙ²+ｚ² (ｘ、ｙ、ｚ∈Z)　とは出来るが(0を入れての
構成は可能)でも、N=a²+b²+c² (a、b、c∈N)　とは出来ないもの(0を含まず構成することは
不可能）

と解釈できる、と思っていたんですが、よろしいですか？


　らすかるさんからのコメントです。（平成２８年９月７日付け）

　「これは直接N=8k+1,8k±2,8k±3 (k=0、1、2、3、・･･)であるものの集まりでもよい」ではなく、

　　　4^m(8n+7)　（m、n≧0、1≦k≦6、k≠4）

ですね。

　「A-(A∩B)={1,2,5,10,13,25,37,58,85,130}」について、A∩B=Bなので左辺はA-Bでも同じです
が、右辺は、

　　　4^m*{1,2,5,10,13,25,37,58,85,130}

です。

　私の書き方が悪く誤解を与えたかも知れませんが、

　4で割り切れなくなるまで割った結果の数が、8n+7型かあるいは、1,2,5,10,13,25,37,58,85,130
のいずれかは、

「4で割り切れなくなるまで割った結果の数が、8n+7型」、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　または、「1,2,5,10,13,25,37,58,85,130のいずれか」

ではなく、「4で割り切れなくなるまで割った結果の数」が

　　　　　「8n+7型、または、1,2,5,10,13,25,37,58,85,130のいずれか」
です。

　具体的に書くと、4^m(8n+7)を除いて、

1,4,16,64,…
2,8,32,128,…
5,20,80,320,…
10,40,160,640,…
13,52,208,832,…
25,100,400,1600,…
37,148,592,2368,…
58,232,928,3712,…
85,340,1360,5440,…
130,520,2080,8320,…

が自然数３個の平方和で表せないということです。