Σ_n=1〜∞ 1/(1+2+3+･･･+n)

= Σ_n=1〜∞ 2/(n(n+1)) = 2・lim_n→∞Σ_k=1〜n (1/k-1/(k+1)) = 2・lim_n→∞(1/1-1/(n+1))=2

　そこで、

Σ_n=1〜∞ 1/(1²+2²+3²+･･･+n²)　、Σ_n=1〜∞ 1/(1³+2³+3³+･･･+n³)

を求めてほしい。


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年９月３日付け）

　Σ_n=1〜∞ 1/(1³+2³+3³+･･･+n³)

= Σ_n=1〜∞ 4/n²(n+1)² = 4Σ_n=1〜∞ { 1/n² + 1/(n+1)² - 2/n + 2/(n+1) }

= 4 { π²/6 + (π²/6-1) - 2 } = 4π²/3 - 12

　３乗の方は簡単ですが、２乗の方は難しいですね。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年９月３日付け）

　{2.00000000, 1.36446767, 1.15947253, 1.07383121, 1.03507429,1.016922024 + 0.*10^-10 I,
1.008251549 + 0.*10^-10 I,1.004054362 + 0.*10^-10 I, 1.002002930 + 0.*10^-10 I,
1.000993268 + 0.*10^-10 I,............　--------->1 (予感)


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年９月３日付け）

　２乗の方について、まず、lim_N→∞∫₀¹(-x)^N/(1+x)dx = 0 を示します。

| lim_N→∞∫₀¹(-x)^N/(1+x)dx |

≦ lim_N→∞∫₀¹|(-x)^N/(1+x)|dx = lim_N→∞∫₀¹x^N/(1+x)dx ≦ lim_N→∞∫₀¹x^Ndx = 1/(N+1) → 0

よって、挟み撃ちの原理により、 lim_N→∞∫₀¹(-x)^N/(1+x)dx = 0

次に、Σ_n=1〜∞ (-1)ⁿ/n = -log2 を示します。

Σ_n=1〜N (-x)^n-1 = 1/(1+x) - (-x)^N/(1+x)

これを区間 [0,1] で積分して、 - Σ_n=1〜N (-x)ⁿ/n = log2 - ∫₀¹(-x)^N/(1+x)dx

N→∞ として、先ほど証明した式を用いると、- Σ_n=1〜∞ (-1)ⁿ/n = log2

つまり、Σ_n=1〜∞ (-1)ⁿ/n = -log2　すなわち、　- 1/1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - …… = -log2

これとGAIさんの示した1乗の式を用いると、

Σ_n=1〜∞ 1/(1²+2²+3²+･･･+n²)

= 6 Σ_n=1〜∞ 1/｛n(n+1)(2n+1)｝

= 6 Σ_n=1〜∞ 1/｛n(n+1)(2n+1)｝+ 6 Σ_n=1〜∞ 1/｛n(n+1)｝ - 6

= 6 Σ_n=1〜∞ (2n+2)/n(n+1)(2n+1) - 6

= 24 Σ_n=1〜∞ 1/｛2n(2n+1)｝- 6

= 24 Σ_n=1〜∞ {1/2n - 1/(2n+1)} - 6

= 24 ( 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + …… ) - 6

= 24 ( -log2 + 1 ) - 6

= 18 - 24log2（おおよそ　1.36446766656131　・・・　Ｓ（Ｈ）さんの計算結果と一致）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年９月４日付け）

　見事な解析、有難うございます。気になって、いろいろ調べてみたら、次のようなデータを
見つけました。

Σ_n=1〜∞ 1/(1²+2²+3²+･･･+n²) = 18 - 24log2

＜参考＞　「A159354」

　Σ_n=1〜∞ 1/(1⁴+2⁴+3⁴+･･･+n⁴) = (30/7)(16log2-3(H[(3-√(21))/6]+H[(3+√(21))/6]+3))

なお、Hは以下を意味する。　H[t] = tΣ_k=1〜∞ 1/(k(t+k))

　Σ_n=1〜∞ 1/(1⁵+2⁵+3⁵+･･･+n⁵) = 4(15-π²+2πtan(π/2))


＃数値的に確かめたら、この式で算出されそうです。他に何かの情報をお持ちの方は教え
　て下さい。


　Seiichi　Manyama さんからのコメントです。（平成２８年９月９日付け）

　Σ_n=1〜∞ 1/(1²+2²+3²+･･･+n²) = 18 - 24log2

については、数学セミナーリーディングス　数学の問題　エレガントな解答をもとむ　第２集
の56に載っています。