とする。線分ABの中点をMとし、Mを通る任意の直線（線分AB、OC以外）が円Oと交わる点
をA’、B’と置くと、△A’B’Cの内心は円Oと直線OCの交点である。
DD++さんからのコメントです。（平成２８年８月３０日付け）
円と直線OCの交点を、Cに近い側をD、遠い側をEとします。
∠CAD=∠DEA=∠DBA=∠DAM （順に、接弦定理、円周角の定理、図形の対称性）より、
点Dは△AMCにおける∠Aの内角の二等分線と直線MCとの交点。
さらに、AD⊥AE より、点E は△AMCにおける∠Aの外角の二等分線と直線MCとの交点。
つまり、MD：DC=MA：AC=ME：ECなので、この円は二点MとCに対するアポロニウスの円です。
したがって、この円上の（DとE以外の）任意の点Pについて、MP：PC=MD：DCが成り立ち、
線分PDは、∠MPCの二等分線となっています。
つまり、円上に（DとE以外の）A’とB’をとり線分A’B’が点Mを通るようにすると、
△A’B’Cのうち内角∠A’と内角∠B’のどちらの二等分線も点Dを通るので、点Dはこの三
角形の内心ということになります。
ところで、逆に、Cを通り円と２点で交わる直線を引き、その２交点とMを結ぶ三角形を作る
と、Dはその三角形の傍心になるようですね。
ｔｅｔｓｕさんからのコメントです。（平成２８年８月３０日付け）
なるほど、です。アポロニウスの円が鍵ですね。私はこんな説明を考えてみました。
単位円で言えれば十分なので、円Oを座標平面上の原点を中心とする半径1の円として、
円周上の点A、Bの座標を、A(x1，y1)、B(x1，-y1) とする。（x1、y1>0 としてよい）
これで、M(x1，0)、また、△AMOと△CAOの相似比から、C(1/x1，0) が得られる。
ここで、D(1，0)、E(-1，0)について、
DM：DC=(1-x1)：(1/x1-1)=x1：1 、EM：EC=(x1+1)：(1/x1+1)=x1：1
が得られ、円Oがアポロニウスの円（M、Cからの距離の比がx1：1である点の軌跡）と判る。
弧AD上に点A’を取り、点Mを通る弦A’B’を取り，B’Cと円Oの交点をA”とすれば、
B’M：B’C=DM：DC により、∠DB’M=∠DB’C で、弧A’D=弧A”D
したがって、２点A’とA”は、ｘ軸に関して対称な位置にあり、CDは△A’B’Cの∠Cの二等分
線、すなわち、Dは、△A’B’Cの内心である。
また、点Mを通る弦A”B”を考えると、△A”B”Cは、△A’B’Cとｘ軸に関して対称な三角形
で、同じくDが内心であり内接円も同一。
よって、この内接円はMA’、MA”、A”Cに接するので、Dは、△B’A”Mの傍心である。
