A’、B’、C’とすると、点 I は△A’B’C’の垂心である。
(2) △ABCの垂心をHとし、線分AH、BH、CHを延長して△ABCの外接円との交点をそれぞ
れA’、B’、C’とすると、点Hは△A’B’C’の内心である。
ＫＳさんからのコメントです。（平成２８年８月２６日付け）
三角形には有名な五心以外にも多くあるみたいですが、ＧＡＩさんのように点どうしの関係が
いろいろありそうです。
(3) △ＡＢＣの内心 Ｉ より下した垂線の足をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、点 Ｉ は、
△Ａ’Ｂ’Ｃ’の外心になります。
(4) △ＡＢＣの外心Ｏより下した垂線の足をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、点Ｏは、
△Ａ’Ｂ’Ｃ’の垂心になります。
(5) △ＡＢＣの垂心Ｈより下した垂線の足をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、点Ｈは、
△Ａ’Ｂ’Ｃ’の内心になります。
（コメント） 今まで考えもしなかった視点で新鮮ですね！証明を考えてみたいと思います。
(1) Ａ＝２α、Ｂ＝２β、Ｃ＝２γとすると、２α＋２β＋２γ＝１８０°より、α＋β＋γ＝９０°
円周角の定理より、∠Ａ’Ｃ’Ｃ＝α、∠Ｂ’Ｃ’Ｃ＝β、∠Ｃ’Ａ’Ａ＝γが成り立つ。
このとき、α＋β＋γ＝９０°より、Ａ’Ｉ⊥Ｂ’Ｃ’となる。
同様にして、Ｂ’Ｉ⊥Ｃ’Ａ’、Ｃ’Ｉ⊥Ａ’Ｂ’が成り立つ。
よって、点 I は△A’B’C’の垂心である。
(2) 円周角の定理より、∠ＡＢＢ’＝∠ＡＡ’Ｂ’、∠ＡＣＣ’＝∠ＡＡ’Ｃ’
また、直線ＢＨとＣＡ、直線ＣＨとＡＢの交点をそれぞれＢ”、Ｃ”とすると、４点Ｂ、Ｃ、Ｂ”、
Ｃ”は同一円周上にあるので、∠ＡＢＢ’＝∠ＡＣＣ’が成り立つ。
このとき、∠ＡＡ’Ｂ’＝∠ＡＡ’Ｃ’となり、線分Ａ’Ｈは∠Ｂ’Ａ’Ｃ’を２等分する。
同様にして、線分Ｂ’Ｈ、線分Ｃ’Ｈはそれぞれ∠Ａ’Ｂ’Ｃ’、∠Ｂ’Ｃ’Ａ’を２等分する。
よって、点Ｈは、△Ａ’Ｂ’Ｃ’の内心である。
(3) ＩＡ’＝ＩＢ’＝ＩＣ’より、点 Ｉ は△Ａ’Ｂ’Ｃ’の外心である。
(4) Ｂ’、Ｃ’はそれぞれ辺ＣＡ、ＡＢの中点なので、中点連結定理より、ＢＣ‖Ｂ’Ｃ’が成り立
つ。線分ＯＡ’⊥ＢＣより、線分ＯＡ’⊥Ｂ’Ｃ’となる。
同様にして、線分ＯＢ’⊥Ｃ’Ａ’、線分ＯＣ’⊥Ａ’Ｂ’が成り立つ。
よって、点Ｏは、△Ａ’Ｂ’Ｃ’の垂心である。
(5) ４点Ａ’、Ｂ、Ｃ’、Ｈは同一円周上にあるので、∠Ｃ’ＢＨ＝∠Ｃ’Ａ’Ｈ
また、４点Ａ、Ｂ、Ａ’、Ｂ’は同一円周上にあるので、∠Ｃ’ＢＨ＝∠Ｂ’Ａ’Ｈ
よって、∠Ｃ’Ａ’Ｈ＝∠Ｂ’Ａ’Ｈとなり、線分Ａ’Ｈは∠Ｂ’Ａ’Ｃ’を２等分する。
同様にして、線分Ｂ’Ｈ、線分Ｃ’Ｈはそれぞれ∠Ａ’Ｂ’Ｃ’、∠Ｂ’Ｃ’Ａ’を２等分する。
よって、点Ｈは、△Ａ’Ｂ’Ｃ’の内心である。
（追記） ＫＳさんより続報です。（平成２８年８月３０日付け）
鋭角三角形のとき、
(6) △ＡＢＣの内心 Ｉ より、辺対称の点で出来る点をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、点 Ｉ は、
△Ａ’Ｂ’Ｃ’の外心になります。
(7) △ＡＢＣの外心Ｏより、辺対称の点で出来る点をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、点Ｏは、
△Ａ’Ｂ’Ｃ’の垂心になります。
(8) △ＡＢＣの垂心Ｈより、辺対称の点で出来る点をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、点Ｈは、
△Ａ’Ｂ’Ｃ’の内心になります。
（追記） ＫＳさんよりさらに続報です。（平成２８年９月５日付け）
(9) △ＡＢＣの重心Gと頂点を結んだ直線の延長と辺の交点 をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とする
と、点Ｇは、△Ａ’Ｂ’Ｃ’の重心になります。重心を垂心に変えても明らか。
(10) △ＡＢＣの外心Ｏと頂点を結んだ直線の延長と辺の交点それぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、
点Ｏは、△Ａ’Ｂ’Ｃ’の垂心になります。
(11) △ＡＢＣの内心Iと頂点と結んだ直線の延長と辺の交点をそれぞれＡ’、Ｂ’、Ｃ’とすると、
点Iは、△Ａ’Ｂ’Ｃ’の外心になります。
以下、工事中！
