・奇数と自然数のハーモニー                 GAI 氏

 奇数を小さい方から並べたものに、自然数を反対方向から掛け合わせながらすべて合わ
せる。例えば、

1*3+3*2+5*1
1*5+3*4+5*3+7*2+9*1
1*9+3*8+5*7+7*6+9*5+11*4+13*3+15*2+17*1

 さて、n個の奇数にn個の自然数をこの様に掛け合わせながら合わせた合計は何になるで
しょう?


 S(H)さんからのコメントです。(平成28年8月5日付け)

 Σk=1〜n2=n(n+1)(2n+1)/6  ( → 参考:「A000330」 、関連)


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年8月5日付け)

 普通に解けば、 Σk=1〜n (2k-1)(n+1-k)=n(n+1)(2n+1)/6=Σk=1〜n k2

例えば、1*9+3*8+5*7+7*6+9*5+11*4+13*3+15*2+17*1 を

1  1  1  1  1  1  1  1  1
   3  3  3  3  3  3  3  3
      5  5  5  5  5  5  5
         7  7  7  7  7  7
            9  9  9  9  9
              11 11 11 11
                 13 13 13
                    15 15
                       17


のように並べて各縦列の和をとれば、

(1)+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+…+(1+3+5+7+…+17)=12+22+32+42+…+92

となりますね。



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