ｎを任意の自然数とするとき、和 Σ_k=0〜n(−１)^k(ｎ−ｋ)！(ｎ＋ｋ)！の値をｎの式で表すと？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年７月３１日付け）

　(-1)^k (n-k)! (n+k+1)! - (-1)^k-1 (n-k+1)! (n+k)!
= (-1)^k (n-k)! (n+k)! { (n+k+1) + (n-k+1) }
= (-1)^k (n-k)! (n+k)! (2n+2)

より、

(2n+2) Σ_k=0〜n (-1)^k(n-k)!*(n+k)!
=Σ_k=0〜n［(-1)^k (n-k)! (n+k+1)! - (-1)^k-1 (n-k+1)! (n+k)!］
= (-1)ⁿ (n-n)! (n+n+1)! - (-1)^-1 (n-0+1)! (n+0)!
= (-1)ⁿ (2n+1)! + (n+1)! n!

つまり、　Σ_k=0〜n (-1)^k(n-k)!*(n+k)!={ (-1)ⁿ (2n+1)! + (n+1)! n! } / 2(n+1)

＃なかなか大変でした。


　ａｔ さんからのコメントです。（平成２８年７月３１日付け）

　DD++さん、正解です。お見事です！

　本問は、「PUTNAM and BEYOND」 (Springer)の、123頁に収録されている問題です。
本問の解答例は、500〜501頁にあります。


（コメント）　数列の第ｎ項を階差の形に変形したDD++さんの解法に感動しました！