１³/(１⁴+４)-３³/(３⁴+４)+５³/(５⁴+４)-･････+(-1)^n-1(2n-1)³/((2n-1)⁴+４)

を求めると？


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年７月２９日付け）

　ｎ＝１、２、３、・・・　と代入して、

　1/5，-2/17，3/37，-4/65，5/101，-6/145，7/197，・・・

　分母の数列　5， 17， 37， 65， 101， 145， 197，・・・　から、階差数列を求めると、

　　12， 20， 28， 36， 44， 52， ・・・

　この数列は、初項 12、公差 8 の等差数列なので、一般項は、　12+8(n-1)=8n+4

　よって、もとの数列の一般項は、ｎ≧２のとき、

　　5 + Σ_k=1〜n-1(8ｋ+4) = 4ｎ²+1　これは、ｎ=1 のときも成り立つ。

　以上から、　(−１)^n-1ｎ/(４ｎ²＋１)

（別解）　分母の数列について、２度差分すると定値数列となるので、第ｎ項は２次式で

　　Aｎ²＋Bn＋C とおける。

　このとき、　A + B + C = 5、4 A + 2 B + C = 17、9 A + 3 B + C = 37　を解き、

　A＝4、B＝０、C＝1　を得る。　よって、一般項は、　(−１)^n-1ｎ/(４ｎ²＋１)

＃　容易に解けてしまうのを何故 GAI 様は提起なさるのでしょうか?


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年７月３０日付け）

　人力計算主義で．．．。

　x⁴+4=x⁴+4x²+4-4x²=(x²+2)²-4x²=(x²+2x+2)(x²-2x+2)　より、

　2x³/(x⁴+4) = (x+1)/(x²+2x+2)+(x-1)/(x²-2x+2)　と部分分数分解されるので、

　(-1)^ｋ-1(2ｋ-1)³/((2ｋ-1)⁴+４) = (-1)^ｋ-1（k/(4k²+1) + (k-1)/(4(k-1)²+1)）

したがって、

与式=1/5 + 0 - (2/17 + 1/5) + ・・・ + (-1)^ｎ-1(ｎ/(4ｎ²+1) + (ｎ-1)/(4(ｎ-1)²+1)）

　　 = (-1)^ｎ-1ｎ/(4ｎ²+1)


（コメント）　DD++さんの解法の美しさに感動しました。部分分数分解とは凄いです！