底面が半径 ｒ の直円錐に半径1の球が内接している。このとき、

　　球の表面積S₁ ： 円錐の表面積S₂　　、球の体積V₁ ： 円錐の体積V₂

は如何？


（コメント）　面白そうだったので、解いてみました。

　明らかに、　S₁＝４π　、V₁＝（４/３）π

　　また、　直円錐の高さを、１＋ｘ　とおくと、

　　　ｒ√（ｘ²−１）＝ｘ＋１　から、　ｘ＝（ｒ²＋１）/（ｒ²−１）

　このとき、　S₂＝πｒ²＋πｒ²（ｒ²＋１）/（ｒ²−１）＝２πｒ⁴/（ｒ²−１）　なので、

　　　球の表面積S₁ ： 円錐の表面積S₂＝２（ｒ²−１） ： ｒ⁴

　同様にして、　V₂＝（１/３）πｒ²・２ｒ²/（ｒ²−１）＝（２/３）πｒ⁴/（ｒ²−１）　なので、

　　　球の体積V₁ ： 円錐の体積V₂＝２（ｒ²−１） ： ｒ⁴


（コメント）　なるほど！表面積の比と体積の比が同じになるんですね。


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年６月１２日付け）

　半径 ｒ の球が内接している多面体は全て、V=(1/3)Sｒ が成り立ちますね。球も円錐も多面
体の極限ですので、そういうのも含めて、同じ球が内接する任意の多面体で、

　　表面積比＝体積比

が必ず成り立ちます。