x、y、z は正の有理数、pは素数のとき、

　x+y+z=p/3　、xy+yz+zx=1/p　、xyz=1/p³

が成立する。p 及び x、y、z は？の攻め方を教えて下さい。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２８年５月２３日付け）

　適当に解いてみます。

　X=1/x、Y=1/y、Z=1/z とおくと、条件から、　X+Y+Z=p²　、XY+YZ+ZX=p⁴/3　、XYZ=p³

なので、X、Y、Z は、　3t³-3p²t²+p⁴t-3p³=0　の3解。

　u=3t とおくと、　u³-3p²u²+3p⁴u-27p³=0　となり、u は3の倍数だから、t は整数。

　3t³-3p²t²+p⁴t-3p³=0　の整数解は、1、3、p、3p、p²、3p²、p³、3p³　のいずれかなので

それぞれ代入して検討する。

　t=1　のとき、p⁴-3p³-3p²+3=0　→　この式を満たすpは存在しない

　t=3　のとき、3p⁴-3p³-27p²+81=0　→　p=3

　t=p　のとき、p-3=0　→　p=3

　t=3p　のとき、p²-27p+78=0　→　この式を満たすpは存在しない

　t=p²　のとき、p³-3=0　→　この式を満たすpは存在しない

　t=3p²　のとき、57p³-3=0　→　この式を満たすpは存在しない

　t=p³　のとき、3p⁶-3p⁵+p⁴-3=0　→　この式を満たすpは存在しない

　t=3p³　のとき、81p⁶-27p⁵+3p⁴-3=0　→　この式を満たすpは存在しない

　従って、解を持つためには、t=p=3　でなければならないので、X=Y=Z=p=3

よって、x=y=z=1/3　、p=3

# p=3　のとき、　3t³-3p²t²+p⁴t-3p³=3(t-3)³　となります。


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年５月２３日付け）

　3px+3py+3pz = p²　、(3px)(3py)+(3py)(3pz)+(3pz)(3px) = 9p　、(3px)(3py)(3pz) = 27

より、3px, 3py, 3pz は方程式 t³-p²t²+9pt-27=0 の有理数解である。これは、整数係数モ
ニックなので、有理数解を持つとすれば、それは整数解である。

　3つの整数の積が27であるとき、その中に　1　、-1　、3　のいずれかが含まれる。

　t=1 が解であるとすると、-p²+9p-26=0　だが、これは整数解を持たない。
　t=-1 が解であるとすると、-p²-9p-28=0　だが、これは整数解を持たない。
　t=3 が解であるとすると、-9p²+27p=0 で、p≠0 なので、p=3

　このとき解は、t=3（三重解）より、x=y=z=1/3 で条件を満たす。

　以上より、p=3

# pが素数である条件は不要でした。0でない整数であれば十分。