・解の導き方                          GAI 氏

 x、y、z は正の有理数、pは素数のとき、

 x+y+z=p/3 、xy+yz+zx=1/p 、xyz=1/p3

が成立する。p 及び x、y、z は?の攻め方を教えて下さい。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年5月23日付け)

 適当に解いてみます。

 X=1/x、Y=1/y、Z=1/z とおくと、条件から、 X+Y+Z=p2 、XY+YZ+ZX=p4/3 、XYZ=p3

なので、X、Y、Z は、 3t3-3p2t2+p4t-3p3=0 の3解。

 u=3t とおくと、 u3-3p2u2+3p4u-27p3=0 となり、u は3の倍数だから、t は整数。

 3t3-3p2t2+p4t-3p3=0 の整数解は、1、3、p、3p、p2、3p2、p3、3p3 のいずれかなので

それぞれ代入して検討する。

 t=1 のとき、p4-3p3-3p2+3=0 → この式を満たすpは存在しない

 t=3 のとき、3p4-3p3-27p2+81=0 → p=3

 t=p のとき、p-3=0 → p=3

 t=3p のとき、p2-27p+78=0 → この式を満たすpは存在しない

 t=p2 のとき、p3-3=0 → この式を満たすpは存在しない

 t=3p2 のとき、57p3-3=0 → この式を満たすpは存在しない

 t=p3 のとき、3p6-3p5+p4-3=0 → この式を満たすpは存在しない

 t=3p3 のとき、81p6-27p5+3p4-3=0 → この式を満たすpは存在しない

 従って、解を持つためには、t=p=3 でなければならないので、X=Y=Z=p=3

よって、x=y=z=1/3 、p=3

# p=3 のとき、 3t3-3p2t2+p4t-3p3=3(t-3)3 となります。


 DD++さんからのコメントです。(平成28年5月23日付け)

 3px+3py+3pz = p2 、(3px)(3py)+(3py)(3pz)+(3pz)(3px) = 9p 、(3px)(3py)(3pz) = 27

より、3px, 3py, 3pz は方程式 t3-p2t2+9pt-27=0 の有理数解である。これは、整数係数モ
ニックなので、有理数解を持つとすれば、それは整数解である。

 3つの整数の積が27であるとき、その中に 1 、-1 、3 のいずれかが含まれる。

 t=1 が解であるとすると、-p2+9p-26=0 だが、これは整数解を持たない。
 t=-1 が解であるとすると、-p2-9p-28=0 だが、これは整数解を持たない。
 t=3 が解であるとすると、-9p2+27p=0 で、p≠0 なので、p=3

 このとき解は、t=3(三重解)より、x=y=z=1/3 で条件を満たす。

 以上より、p=3

# pが素数である条件は不要でした。0でない整数であれば十分。


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