塾生たちと次のような問題を考えていた。

　整数 ｘ、ｙ について、　ｘ²−２ｙ＝４０　ならば、ｘ、ｙ の少なくとも一方は３の倍数でない。

このことを証明せよ。

　証明自体は、背理法を用いれば易しい。

（証明）　ｘ も ｙ も３の倍数とすると、ｘ²−２ｙ は３の倍数であるが、４０は３の倍数でない。

よって、矛盾するので、ｘ、ｙ の少なくとも一方は３の倍数でない。　　（証終）


　塾生たちの興味の的は、ｘ²−２ｙ＝４０　を満たす整数 ｘ、ｙ について、　ともに３の倍数で
ないものは存在するだろうかというもの。

　次のような推論から、そのような整数 ｘ、ｙ は存在しないことが分かるが、存在すると信じ
て、ひたすら計算してもなかなか所要のｘ、ｙが求められないというもどかしさを塾生たちは
大いに味わうことになった。３を法として、

　したがって、３の倍数でないどのような整数 ｘ、ｙ に対しても、ｘ²−２ｙ＝４０　を満たすもの
は存在しない。

　このことから、問題文は次のようにするのが適切ではないだろうか？

　整数 ｘ、ｙ について、　ｘ²−２ｙ＝４０　ならば、ｘ、ｙ のどちらか一方のみが３の倍数でない。

　ただこのような表現だと、問題レベルが若干高まるような．．．予感。