点(x，y)が直線 3x+4y=1 の上を動くとき、次の式で定まる点(u，v)の軌跡の長さを求めよ。

　　u+vi=1/(x+yi)　　ただし、i は虚数単位とし、x、y、u、v は実数である。（1965年 一橋大学）


（コメント）　題意より、u²+v²≠0　で、　ｘ=u/(u²+v²)　、ｙ=-v/(u²+v²)　より、

　　　　　　3u/(u²+v²)-4v/(u²+v²)=1　すなわち、　u²+v²-3u+4v=0

　　(u-3/2)²＋(v+2)²=25/4　なので、この図形は、点(3/2，-2)を中心とし半径5/2の円

　　ただし、原点(0，0)は除く。

　　．．．円周上から１点が除かれるので、軌跡の長さは求められないと思うが、ルベーグの
　　　　測度論的には、軌跡の長さは、2π(5/2)=5π かな？


　よおすけさんからのコメントです。（平成２８年４月２７日付け）

　モノグラフ 複素数(初版)の107ページの例題、聖文新社「一橋大学 数学入試問題50年」の
模範解答では、答えの周の長さが「5π」とありました。


（コメント）　偶然にも手元にモノグラフ 複素数(初版)があったので確認してみました。

　解答では、反転を用いて説明していて、結局のところ、複素数平面で、∞が０に対応し、１
点も除かれることなく、直線は円全体に写されるというものでした。

　予想はしていましたが、ルベーグの測度論を持ち出すまでもなかったですね！