整数係数の範囲で因数分解をするとき、

a²+b²　==>　存在せず　、　a²-b²=(a-b)(a+b)　に対し、

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)　、a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)　と、+、-で因数分解可能となる。

　そこで、一般に、　a^p±n・b^p （p=2、3、4、･･･、9、10　、2≦n≦100）　が共に因数分解可能
な(p，n)の組合せは何か？


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年４月１２日付け）

　あり過ぎるので、　a^p-n・b^p (p=10,、2≦n≦100）　に限定いたします。

   { p,  n,         a^p-n*b^p  }
   {10,  9, (x^5 - 3 y^5) (x^5 + 3 y^5)}
   {10, 16, (x^5 - 4 y^5) (x^5 + 4 y^5)}
   {10, 25, (x^5 - 5 y^5) (x^5 + 5 y^5)}
   {10, 32, (x^2 - 2 y^2) (x^8 + 2 x^6 y^2 + 4 x^4 y^4 + 8 x^2 y^6 + 16 y^8)}
   {10, 36, (x^5 - 6 y^5) (x^5 + 6 y^5)}
   {10, 49, (x^5 - 7 y^5) (x^5 + 7 y^5)}
   {10, 64, (x^5 - 8 y^5) (x^5 + 8 y^5)}
   {10, 81, (x^5 - 9 y^5) (x^5 + 9 y^5)}
   {10,100, (x^5 - 10 y^5) (x^5 + 10 y^5)}


（コメント）　ＧＡＩ さんの趣旨は、同時に、a^p＋n・b^p も因数分解できるものということなんです
　　　　　　が、どうでしょうか？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年４月１２日付け）

　とりあえず、１５個はあるとして、これで全部かと言われると自信なし。素数乗の場合はとも
かく、合成数乗の判断が難しいですね。

p=2 : なし
p=3 : n=8、27、64
p=4 : n=4、64 のみ？
p=5 : n=32
p=6 : n=8、27、64 のみ？
p=7 : なし（最小が、n=128）
p=8 : n=4、64 のみ？
p=9 : n=8、27、64 のみ？
p=10 : n=32 のみ？


　Ｓ（Ｈ）さんが、ｐ＝12 の場合について調べられました。（平成２８年４月１３日付け）

　a^p±n・b^p （p=2、3、4、･･･、9、10　、2≦n≦100）　がともに因数分解できるのは、

a¹²+4・b¹²＝(x^6 - 2 x^3 y^3 + 2 y^6) (x^6 + 2 x^3 y^3 + 2 y^6)
a¹²-4・b¹²＝(x^6 - 2 y^6) (x^6 + 2 y^6)

a¹²+8・b¹²＝(x^4 + 2 y^4) (x^8 - 2 x^4 y^4 + 4 y^8)
a¹²-8・b¹²＝(x^4 - 2 y^4) (x^8 + 2 x^4 y^4 + 4 y^8)

a¹²+27・b¹²＝(x^4 + 3 y^4) (x^4 - 3 x^2 y^2 + 3 y^4) (x^4 + 3 x^2 y^2 +   3 y^4)
a¹²-27・b¹²＝(x^4 - 3 y^4) (x^8 + 3 x^4 y^4 + 9 y^8)

a¹²+64・b¹²＝(x^2-2xy+2y^2) (x^2+2xy+2y^2) (x^4-2x^3y+2x^2y^2-4xy^3+4y^4)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(x^4+2x^3y+2x^2y^2+4xy^3+4y^4)
a¹²-64・b¹²＝(x^2 - 2 y^2) (x^2 + 2 y^2) (x^4 - 2 x^2 y^2 + 4 y^4) (x^4 +  2 x^2 y^2 + 4 y^4)


（コメント）　Ｓ（Ｈ）さんに感謝します。