随分前から考えているのですが、定積分 I_n＝∫₀^π/2 (ｘ・ｓｉｎｘ)ⁿｄｘ は求められないので
しょうか？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年２月２５日付け）

　個別には、

(1)　倍角公式や積和公式でとにかく三角関数の次数を下げて一次にする
(2)　x^k の方を微分する形でひたすら部分積分

という手順で計算できますね。

　統一的にやろうとするなら、I_{m,n}= ∫[0,π/2] x^m (sinx)^n dx として、部分積分で二重数
列の漸化式を作ることになると思います。うまく行くかはまだ試していませんが。


（コメント）　 I₀＝∫₀^π/2 ｄｘ＝π/２

　　　　I₁＝∫₀^π/2 (ｘ・ｓｉｎｘ)ｄｘ＝［−ｘｃｏｓｘ］₀^π/2＋∫₀^π/2 ｃｏｓｘｄｘ＝［ｓｉｎｘ］₀^π/2＝１

　　　　I₂＝∫₀^π/2 (ｘ・ｓｉｎｘ)²ｄｘ＝（π²＋６）π/４８

　一般に、I_n の計算は大変そうですね！