f(x)=log(x+√(1+x²))とするとき、x=0におけるテイラー展開をしました。f(x)を微分していくと、

　f’(x)=1/(x²+1)^(1/2)　、f”(x)=-x/(x²+1)^(3/2)　、f⁽³⁾(x)=(2x²-1)/(x²+1)^(5/2)

　f⁽⁴⁾(x)=-3(2x³+3x)/(x²+1)^(7/2)　、f⁽⁵⁾(x)=3(8x⁴-24x²+3)/(x²+1)^(9/2)

　f⁽⁶⁾(x)=-15x(8x⁴-40ｘ²+15)/(x²+1)^(11/2)　、f⁽⁷⁾(x)=45(16x⁶-120x⁴+90x²-5)/(x²+1)^(13/2)

となりました。これをマクローリン展開の公式に代入すると、

　　f(x)=x-(x³)/6+(3x⁵)/40-(5x⁷)/112＋…（剰余項）

となりました。一般項を求めたいのですが、f’(x)=1/(x²+1)^(1/2)　のとき、x²=t　と置き、

g(t)=(t+1)^(-1/2)としました。g(t)についてn回微分し、

　　g^(ｎ)(t)＝(‐1)ⁿ(((2n-1)!!)/2ⁿ)(1+t)^｛-(2n-1)/2｝

となりました。g(t)について、t=0の時テイラー展開したところ、

　　g(t)＝1-t/2+3t²/8-5t³/16+…+((‐1)ⁿ(((2n-1)!!)/2ⁿ))/n!+Rt

となりました。ここで、先生からこのようなコメントを頂きました。

　「gとfの関係をはっきりさせ、g(t)のテイラー展開からf'(x)のテイラー展開を求め、それがf'(x)
のテイラー展開と一致することからf'(0)、f''(0)…をもとめ、それを用いてf(x)のテイラー展開を
書けばよい」

　ここで思考がストップしてしまいました。今後どのように組み立てればよいか教えていただ
けると嬉しいです。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年２月２４日付け）

　Table[Pochhammer[1/2, 1/2 (-1 + n)]/(n Gamma[(1 + n)/2]), {n, 1, 69 + 1, 2}]

を頑張って、「WolframAlpha」に挿入すれば、確かめは叶うようです...。


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年２月２５日付け）

　そもそもなぜ g(t) を用意したのか思い出しましょう。f’(x) を展開するのが大変なので、
f’(x) = g(x²) となる g(t) を用意したわけですよね。それで g(t) の展開には成功した。だとす
れば、t を x² に戻すことで、今なら f’(x) の展開結果を書けるんじゃないでしょうか？という
ことですね。