久しぶりの書き込みです。最近気になることを耳にしたのですが、中々証明できず困って
います。

　実確率変数Xの中央値をm、期待値をμ、標準偏差をσとすると、常に、|m-μ|≦σ
が成立する

というものです。この性質、本当に成り立つなら結構綺麗な定理だと思うのですが、確率統
計学の世界では有名なのでしょうか。

　ちなみに、|m-μ|≦σが成り立つことは、Chebyshev の定理から簡単に示すことがで
きます。


　ペントミノさんからのコメントです。（平成２８年２月２７日付け）

　この関係式（定理？）を初めて見ました。興味がわいたので証明を試みました。

　確率密度関数を f(x) とおく。中央値を m とすると、∫_-∞^m f(x)dx=∫_m^+∞ f(x)dx=1/2

平均は、μ=∫_-∞^+∞ x f(x)dx　、分散は、σ²=∫_-∞^+∞ (x-μ)² f(x)dx

小さい方半分の平均は、a=2∫_-∞^m x f(x)dx　、大きい方半分の平均は、b=2∫_m^+∞ x f(x)dx

特に、∫_-∞^m (x-a) f(x)dx=∫_m^+∞ (x-b) f(x)dx=0

　このとき、以下が成り立つ。

　μ=(a+b)/2　、μ-m=(a+b-2m)/2

a≦m≦b　より、-(b-a)/2≦μ-m≦(b-a)/2　なので、|μ-m|≦(b-a)/2　・・・(*)

σ²=∫_-∞^m [(x-a)-(μ-a)]² f(x)dx +∫_m^+∞ [(x-b)-(μ-b)]² f(x)dx

　=∫_-∞^m (x-a)² f(x)dx + (μ-a)²∫_-∞^m f(x)dx +∫_m^+∞ (x-b)² f(x)dx + (μ-b)²∫_m^+∞ f(x)dx

右辺第1項と第3項は正であるから、　σ²≧(μ-a)²/2 + (μ-b)²/2=(b-a)²/4

　(*)より、　σ²≧(μ-m)²　なので、　σ≧|μ-m|


　ＤＣＯさんからのコメントです。（平成２８年３月４日付け）

　ペントミノさん、ありがとうございます！簡潔に証明できるのですね。特に、分散の

　　σ²=∫_-∞^m [(x-a)-(μ-a)]² f(x)dx +∫_m^+∞ [(x-b)-(μ-b)]² f(x)dx

という式変形、どこかの教科書で見たような変形で、私の勉強不足、経験不足を痛感させら
れました。離散のときも同様の手順で証明できそうですね。とても勉強になりました。