証明できるのでしょうか？
平方数はmod17で10と合同ではなく、2016≡10（mod17）ですから、n≧17でAを平方数にす
るnは存在しないと言えますが、n≦16までのAの値については、地道に調べるしかないので
しょうか・・・。
また、B＝n!-2016 を平方数にするnが存在しないことも数式的に（直接計算ではない方法
で）証明できるのでしょうか・・・？
これもAと同じように平方数はmod17で7と合同ではないので、n≧17でBを平方数にするn
は存在しないと言えますが、（7≦）n≦16までのBについてnを逐一代入して確かめなければ
ならないのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年２月５日付け）
「直接計算」の定義がよくわかりませんが、とりあえず…。
平方数はmod64で32と合同ではなく 2016≡32(mod64)ですから、n≧8で n!+2016もn!-2016
も平方数になりません。（∵2・4・8=64）
n!+2016について、44^2＜2016＜45^2であり、45^2-2016=9 → n=1〜3は不適
(3で割り切れない数)^2-2016は3で割り切れないので、n≧3の階乗にはなり得ない
48^2-2016=288 → n=4,5は不適
51^2-2016は3で割り切れるが10で割り切れないので、n≧5の階乗にはなり得ない
54^2-2016=900 → n=6は不適
よって、1≦n≦6で、n!+2016は平方数になりません。
n=7では、n!+2016=2^4×3^2×5×7+2^5×3^2×7=(2^4×3^2×7)×(5+2)=(2^2×3×7)^2
となり平方数です。
n!-2016の方は、54^2+2016=4932＜7!＜5041=55^2+2016により、n=7のとき平方数になり
ません。
とるえんさんからのコメントです。（平成２８年２月５日付け）
らすかるさん、ありがとうございます。mod64だと手間が省けるのですね。私は特に考えな
しに17を法としており、64を使うことは思い付きませんでした。2016の素因数に着目すれば
64という数字が思い浮かぶのは自然なのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年２月５日付け）
2016の素因数に注目したわけではありません。17未満の素数ではどれも不都合でしたの
で、n!に早いうちから出てくる(素数でない)因数を考えました。
例えば、3×5=15で考えて同様にできればn≧5で適解がないことが言えますが、n=7で適解
があることがわかっていますので、少なくともn≧8の場合で考えなければなりません。
7!の約数でなく、8!の約数である数を考えると、2・2^2・2(6の素因数)・2=2^5が最小なので、
まず32を考え、2016≡0(mod32)でしたので、さらに2倍してmod64で考えました。
とるえんさんからのコメントです。（平成２８年２月５日付け）
ありがとうございます。そう考えれば、64に辿りつくのは順当なのですね。勉強させてもらい
ました。
DD++さんからのコメントです。（平成２８年２月５日付け）
2016 は 9(3N+2) 型なので、3のベキで考えると、3≦n≦5 と 9≦n が一発で全部消えます。
これが一番大きく削れるんじゃないかと思います。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年２月６日付け）
3≦n≦5 は、n!=3(3k+m) （m=1,2）から n!+2016=3{3k+m+3(3N+2)} で{ }が3で割り切れな
いので、平方数でない、という理屈でしょうか。9≦n の方はなぜ消えるのか、ちょっと考えて
もわかりません。教えて下さい。
DD++さんからのコメントです。（平成２８年２月６日付け）
n≧9 のとき、n! は 27 の倍数になるので、(n!+2016)/9 は 3N+2 型の数になり、平方数で
はありません。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年２月６日付け）
なるほど、よくわかりました。DD++さんのアイデアを使わせて頂いて、2016=2^5・(2m+1) を
使って、n!±2016について考えると
n=2,3 のとき n!=2×(奇数) なので、n!+2016=2×{(奇数)+2^4・(2m+1)}
∴素因数2の個数が1個となり平方数にならない
n=4,5 のとき n!=2^3×(奇数) なので、n!+2016=2^3×{(奇数)+2^2・(2m+1)}
∴素因数2の個数が3個となり平方数にならない
n≧8のとき n!=2^6×(自然数) なので、n!±2016=2^4×{(4の倍数)±(4m+2)}
ここで、{(4の倍数)±(4m+2)}≡2(mod4) だから平方数にならない
（∵(平方数)≡0,1(mod4)）
それから n=1,6 の n!+2016 については、
n=1のとき、n!≡1(mod5)、2016≡1(mod5)なので、n!+2016≡2(mod5)となり平方数にならない
（∵(平方数)≡0,1,4(mod5)）
n=6のとき、ウィルソンの定理から n!≡6(mod7)であり、2016≡0(mod7)なので、
n!+2016≡6(mod7)となり平方数にならない
（∵(平方数)≡0,1,2,4(mod7)）
これで「直接計算なし」で、1≦n≦6, 8≦n の時の n!+2016 と8≦n の時の n!-2016 が平方
数にならないことは示せました。
上と同程度の量の論理で直接計算せずに、
「7!+2016が平方数であること」と「7!-2016が平方数でないこと」
を示すことはできるのでしょうか。
以下、工事中！
