とて、するなり。」の心境で、受験生になったつもりで今年度の大学入試センター試験の問題
に挑戦したいと思います。
興味・関心を持った問題を徒然なるままに．．．。
数学Ⅰ・Ａ 第４問・・・整数の性質（不定方程式・ｎ進法）
（１）(イ) 不定方程式 ９２ｘ＋１９７ｙ＝１ を満たす整数ｘ、ｙの組の中で、ｘの絶対値が最小
のものを求めよ。
(ロ) 不定方程式 ９２ｘ＋１９７ｙ＝１０ を満たす整数ｘ、ｙの組の中で、ｘの絶対値が最
小のものを求めよ。
（２）(イ) ２進法で１１０１１と表される数を４進法で表せ。
(ロ) 次の６進法の小数 ０．３ 、０．３３ 、０．０３３ 、０．４ 、０．４３ 、０．０４３ のう
ち、１０進法で表すと有限小数として表せるものを３つ上げよ。
（解）（１）(イ) ９２・１５＋１９７・（－７）＝１ なので、 １９７（ｙ＋７）＝９２（１５－ｘ）
９２と１９７は互いに素で、ｘ、ｙは整数なので、 １５－ｘ＝１９７ｋ （ｋは整数）
よって、 ｘ＝１５－１９７ｋ で、ｘの絶対値が最小となるのは、ｋ＝０のとき
以上から、求めるｘの値は、 ｘ＝１５
このとき、 ｙ＝－７
（ロ） （イ）より、９２・１５０＋１９７・（－７０）＝１０ なので、１９７（ｙ＋７０）＝９２（１５０－ｘ）
９２と１９７は互いに素で、ｘ、ｙは整数なので、 １５０－ｘ＝１９７ｋ （ｋは整数）
よって、 ｘ＝１５０－１９７ｋ で、ｘの絶対値が最小となるのは、ｋ＝１のとき
以上から、求めるｘの値は、 ｘ＝－４７
このとき、 ｙ＝２２
（２）(イ) ２進法で１１０１１と表される数は、
１１０１１＝１・２4＋１・２3＋０・２2＋１・２＋１＝１・４2＋(２＋０）・４＋（２＋１）
と表されるので、４進法で表すと、 １２３ と書ける。
(ロ) 次の６進法の小数 ０．３ 、０．３３ 、０．０３３ 、０．４ 、０．４３ ０．０４３を１０進
法で表すと、
０．３＝３/６＝１/２＝０．５ （有限小数）
０．３３＝３/６＋３/３６＝１/２＋１/１２＝０．５＋０．０８３３３・・・ （無限小数）
０．０３３＝３/３６＋３/２１６＝１/１２＋１/７２＝７/７２＝０．０９７２２２・・・ （無限小数）
０．４＝４/６＝２/３＝０．６６６・・・ （無限小数）
０．４３＝４/６＋３/３６＝２/３＋１/１２＝９/１２＝３/４＝０．７５ （有限小数）
０．０４３＝４/３６＋３/２１６＝１/９＋１/７２＝１/８＝０．１２５ （有限小数）
以上から、求めるものは、０．３ 、０．４３ ０．０４３
（コメント） （１）は、いろいろな解法が考えられる。一般には互除法を用いるのだろう。ただ、
この手の問題は、特殊解を探した方が解答は楽である。（２）はｎ進法の意味を理
解していれば容易な問題だろう。
（追記） 平成２８年２月２０日付け
数学Ⅰ・Ａ 第５問・・・図形の性質（円に内接する四角形、メネラウスの定理、チェバの定理、方べきの定理）
四角形ABCDにおいて、AB＝４、BC＝２、DA＝DCであり、４つの頂点A、B、C、Dは同一円
周上にある。対角線ACと対角線BDの交点をE、線分ADを２：３の比に内分する点をF、直線
FEと直線DCの交点をGとする。次の問いに答えよ。
∠ABCの大きさが変化するとき、四角形ABCDの外接円の大きさも変化することに注意する
と、∠ABCの大きさがいくらであっても、∠DACと大きさが等しい角で、∠DCAと∠DBC以外の
角を求めよ。
このとき、EC/AEを求めよ。次に、△ACDと直線FEに着目して、GC/DGを求めよ。
（１） 直線ABが点Gを通る場合について考える。
このとき、△AGDの辺AG上に点Bがあることから、BGを求めよ。また、直線ABと直線DC
が点Gで交わり、４点A、B、C、Dは同一円周上にあることから、DCを求めよ。
（２） 四角形ABCDの外接円の半径が最小となる場合について考える。
このとき、四角形ABCDの外接円の直径および∠BACの大きさを求めよ。また、直線FE
と直線ABの交点をHとするとき、AHを求めよ。
（解） 図より、∠DAC＝∠DCA＝∠DBC＝∠DBA である。よって、線分BEは∠ABCの２等
分線であるので、 EC/AE＝BC/BA＝２/４＝１/２
また、メネラウスの定理より、（AF/FD）（DG/GC）（CE/EA）＝１ が成り立つので、
（２/３）（DG/GC）（１/２）＝１ より、 GC/DG＝１/３
（１） △AGDにおいて、チェバの定理より、 （４/BG）（１/２）（３/２）＝１ が成り立つので、
ＢＧ＝３ となる。また、GC＝ｘ とおくと、DG＝３ｘ で、方べきの定理より、
３・７＝ｘ・３ｘ より、 ｘ＝
なので、DC＝２ である。（２） 四角形ABCDの外接円は△ABCの外接円でもある。正弦定理より、外接円の半径を
Ｒとすると、 ２Ｒ＝４/sin∠ACB なので、Ｒが最小となるのは、sin∠ACB＝１ 即ち、
∠ACB＝９０°より、ABが外接円の直径のときである。
よって、 四角形ABCDの外接円の直径は、 ２Ｒ＝４ で、∠BAC＝３０°である。
線分BEは∠ABCの２等分線であるので、∠ABD＝∠CBD＝３０°
よって、 AD＝DC＝BC＝２ となる。
さらに、錯角が等しいので、 AB∥DC が成り立つので、 △HAE∽△GCE
よって、 AH/GC＝２/１ で、 GC＝DC/２＝１ より、 AH＝２ （終）
（コメント） （２）が少し考えさせる問題ですね！新傾向の問題だと思います。
（追記） 平成２８年２月２１日付け
数学Ⅰ・Ａ 第３問・・・場合の数と確率（条件付き確率）
赤球４個、青球３個、白球５個、合計１２個の球がある。これら１２個の球を袋の中に入れ、
この袋からAさんがまず１個取り出し、その球をもとに戻さずに続いてBさんが１個取り出す。
（１） AさんとBさんが取り出した２個の球の中に、赤球か青球が少なくとも１含まれている確
率を求めよ。
（２） Aさんが赤球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率を求めよ。これより、Aさん
が取り出した球が赤球であったとき、Bさんが取り出した球が白球である条件付き確率を
求めよ。
（３） Aさんは１球取り出したのち、その色を見ずにポケットの中にしまった。Bさんが取り出し
た球が白球であることがわかったとき、Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確
率を求めたい。
Aさんが赤球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は（２）より得られる。Aさんが
青球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率を求めよ。
同様に、Aさんが白球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率を求めることができ、
これらの事象は互いに排反であることを用いて、Bさんが白球を取り出す確率を求めよ。
以上を用いて、所要の条件付き確率を求めよ。
（解）（１） AさんとBさんが取り出した２個の球がすべて白球である確率は、
（５/１２）（４/１１）＝５/３３ より、求める確率は、１－５/３３＝２８/３３
（２） Aさんが赤球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は、（４/１２）（５/１１）＝５/３３
Aさんが取り出した球が赤球であったとき、Bさんが取り出した球が白球である条件付き
確率は、
（５/３３）/（４/１２）＝５/１１
（３） Aさんが赤球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は、（４/１２）（５/１１）＝５/３３
Aさんが青球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は、（３/１２）（５/１１）＝５/４４
Aさんが白球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は、（５/１２）（４/１１）＝５/３３
よって、Bさんが白球を取り出す確率は、 ５/３３＋５/４４＋５/３３＝５/１２
以上から、Bさんが取り出した球が白球であることがわかったとき、Aさんが取り出した球も
白球であった条件付き確率は、
（５/３３）/（５/１２）＝４/１１
（コメント） 導入に従って計算すれば容易。ただ、ここまで丁寧な導入は必要なのだろうか？
数学Ⅱ・数学Ｂ 第３問・・・数列（群数列）
真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列
１/２，１/３，２/３，１/４，２/４，３/４，１/５，・・・
を｛ａｎ｝とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のこ
とであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で
解答する場合は、それ以上約分できない形で答えよ。
（１） ａ15 を求めよ。また、分母に初めて８が現れるのは何番目の項か。
（２） ｋを２以上の自然数とする。数列｛ａｎ｝において、１/ｋが初めて現れる項を第Ｍｋ項とし、
（ｋ－１）/ｋが初めて現れる項を第Ｎｋ項とするとき、Ｍｋ、Ｎｋをｋの２次式で表せ。
また、ａ104 を求めよ。
（３） ｋを２以上の自然数とする。数列｛ａｎ｝の第Ｍｋ項から第Ｎｋ項までの和を求めよ。また、
数列｛ａｎ｝の初項から第Ｎｋ項までの和を求めよ。
さらに、Σn=1～103 ａｎ を求めよ。
（解）（１） 第１群：１/２
第２群：１/３，２/３
第３群：１/４，２/４，３/４
・・・・・・・・・・・・・
と考える。第ｎ群の初項は、１/（ｎ＋１） で、項数は、ｎ であるので、
１＋２＋３＋４＋５＝１５ より、ａ15 は、第５群の末項である。よって、ａ15＝５/６
分母に初めて８が現れるのは第７群の初項なので、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋１＝２２（番目）
（２） Ｍｋ＝１＋２＋３＋・・・＋（ｋ－２）＋１＝（ｋ2－３ｋ＋４）/２
Ｎｋ＝１＋２＋３＋・・・＋（ｋ－１）＝（ｋ2－ｋ）/２
（ｋ2－３ｋ＋４）/２≦１０４ を満たす最大の自然数は、ｋ＝１５
よって、ａ104 は、第１４群の１３番目の数なので、 １３/１５
（３） 数列｛ａｎ｝の第Ｍｋ項から第Ｎｋ項までの和は、初項１/ｋ、末項（ｋ－１）/ｋ、項数ｋ－１
の等差数列の和なので、
（ｋ－１）（１/ｋ＋（ｋ－１）/ｋ）/２＝（ｋ－１）/２
また、数列｛ａｎ｝の初項から第Ｎｋ項までの和は、Σｎ=2～ｋ （ｎ－１）/２＝（ｋ2－ｋ）/４
ａ103 は、第１４群の１２番目の数なので、
Σn=1～103 ａｎ＝Σｎ=2～15 （ｎ－１）/２－１３/１５－１４/１５＝１０５/２－９/５＝５０７/１０
（コメント） ２０１０年度以来の群数列の問題で、結構細かい気遣いが必要な問題ですね。
以下、工事中！
